定積分についてわからない問題があります。解説なくて困ってます。お願いします。 (答えは、f(x)=5x^2/2 - 3x

Question

定積分についてわからない問題があります。解説なくて困ってます。お願いします。 (答えは、f(x)=5x^2/2 - 3x/2 です)

@estrellado · Accepted Answer

2次関数と言っているのですから $f(x)=ax^2+bx+c$ のようにおいてあげて、問題文の条件を使います。

まず $f(0)=0, f(1)=1$ を用いれば $a,b,c$ についての関係式が直ちに求まります。

定積分の方も

$\int_0^1 (ax^2+bx+c)^2 dx$

を計算し、最初に導出した $a,b,c$ の関係式を使うことで $a$ についての式として求められます。それが最小になるような $a$ を求めれば良いです。

ここまで読んで解けそうだと思ったら一回解いてみてください。計算式を添付します

@Mathache · Answer

$f(x)$は二次関数なので $$f(x)=ax^2+bx+c$$ $f(0)=0$, $f(1)=1$より、 $c=0$, $b=1–a$ よって、 $${f(x)}^2=a^2x^4+2a(1–a)x^3+(1–a)^2x^2$$ これを0から1で積分すると、 $$ \dfrac{1}{30}a^2– \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{3}  $$ 平方完成して、 $$ \dfrac{1}{30}(a– \dfrac{5}{2})^2+\dfrac{1}{8} $$ これが最小となるのは、$a=\dfrac{5}{2}$のとき。 以上より、 $$ f(x)=\dfrac{5}{2}x^2– \dfrac{3}{2}x $$ 補足: 積分結果のところ、6分の1のあとに$a$が抜けてました。