解決済み

定積分についてわからない問題があります。解説なくて困ってます。お願いします。

(答えは、f(x)=5x^2/2 - 3x/2 です)

ベストアンサー

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2次関数と言っているのですから f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c のようにおいてあげて、問題文の条件を使います。

まず f(0)=0,f(1)=1f(0)=0, f(1)=1 を用いれば a,b,ca,b,c についての関係式が直ちに求まります。

定積分の方も

01(ax2+bx+c)2dx\int_0^1 (ax^2+bx+c)^2 dx

を計算し、最初に導出した a,b,ca,b,c の関係式を使うことで aa についての式として求められます。それが最小になるような aa を求めれば良いです。


ここまで読んで解けそうだと思ったら一回解いてみてください。計算式を添付します

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

なるほど。ありがとうございます。ほんとうなら御二方両方ともベストアンサーにしたいところなのですが今回は、途中計算がより簡易な方を選ばさせてもらいました。大変助かりました😄

そのほかの回答(1件)

f(x)f(x)は二次関数なので

f(x)=ax2+bx+cf(x)=ax^2+bx+c

f(0)=0f(0)=0, f(1)=1f(1)=1より、

c=0c=0, b=1ab=1–a

よって、

f(x)2=a2x4+2a(1a)x3+(1a)2x2{f(x)}^2=a^2x^4+2a(1–a)x^3+(1–a)^2x^2

これを0から1で積分すると、

130a216+13\dfrac{1}{30}a^2– \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{3}

平方完成して、

130(a52)2+18\dfrac{1}{30}(a– \dfrac{5}{2})^2+\dfrac{1}{8}

これが最小となるのは、a=52a=\dfrac{5}{2}のとき。

以上より、

f(x)=52x232xf(x)=\dfrac{5}{2}x^2– \dfrac{3}{2}x

補足

積分結果のところ、6分の1のあとにaaが抜けてました。

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