定積分についてわからない問題があります。解説なくて困ってます。お願いします。

$f(x)$は二次関数なので

$$f(x)=ax^2+bx+c$$

$f(0)=0$, $f(1)=1$より、

$c=0$, $b=1–a$

よって、

$${f(x)}^2=a^2x^4+2a(1–a)x^3+(1–a)^2x^2$$

これを0から1で積分すると、

$$\dfrac{1}{30}a^2– \dfrac{1}{6} +\dfrac{1}{3}$$

平方完成して、

$$\dfrac{1}{30}(a– \dfrac{5}{2})^2+\dfrac{1}{8}$$

これが最小となるのは、$a=\dfrac{5}{2}$のとき。

以上より、

$$f(x)=\dfrac{5}{2}x^2– \dfrac{3}{2}x$$