$$y=f(x),y=g(x)は共に単調増加(減少)する$$

示すことってできますか？

$f$が区間$I$で単調増加とする。

$a,b\in I(a\lt b)$とすると$f(b)-f(a)\gt0$

$g$も同様。

1.和

$$(f(b)+g(b))-(f(a)-g(a))=(f(b)-f(a))+(g(b)-g(a))\gt0$$

より単調増加。

2.積

$f,g$を$y$軸方向へ平行移動し、$x\in I$で$f(x),g(x)\gt0$とする。

$$\begin{align*}f(b)g(b)-f(a)g(a)&=f(b)g(b)-f(a)g(a)\\&=f(b)(g(b)-g(a))+g(a)(f(b)-f(a)\\&\gt0\end{align*}$$

より単調増加。

3.商

$$\dfrac{f(b)}{g(b)}-\dfrac{f(a)}{g(a)}=\dfrac{f(b)g(a)-f(a)g(b)}{g(a)g(b)}$$

より、分子の正負で変わる。

例:$f(x)=x,g(x)=x^2$とすると$x\gt0$でどちらも単調増加。

$\dfrac{f}{g}=\dfrac{1}{x}$より単調減少。

$\dfrac{g}{f}=x$より単調増加。

ありがとうございます。一つわからない点があるのですが、

$h(x)=f(x)+g(x)$とした時に、どうして $h(b)-h(a)$ が正であることから関数 $h(x)$ が区間abで単調増加していることの証明になるのですか？

写真のようなパターンはないということでしょうか？

$f(x)$が区間$I$において単調増加であるとは、任意の$a,b\in I(a\lt b)$に対し

$$f(a)\lt f(b)$$

が成り立つことを言います。

つまり、この$a,b$に対し$f(b)-f(a)\gt0$が言えれば$f(x)$は単調増加です。

なるほど！定義の確認不足でした。てっきり単調増加減少の話は導関数の正負ではじめてわかれるものやとおもってました。