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正の約数の総和 $S(2^npq)$ や $S(2^nr)$ が、

$$\begin{aligned}&S(2^npq)=(1+2+ \cdots +2^n)(1+p)(1+q) \\&S(2^nr)=(1+2+ \cdots +2^n)(1+r)\end{aligned}$$

とならないからです。

たとえば、$n=3,\text{ }r=287=7\times 41$ のとき、

$$\begin{aligned}S(2^nr)&=(1+2+ \cdots +2^n)(1+r) \\&=(1+2+ \cdots +2^n)(1+287)\end{aligned}$$

ではなく、実際は

$$S(2^nr)=(1+2+ \cdots +2^n)(1+7)(1+41)$$

となります。