ローレンツ力の意味と式｜磁場中の荷電粒子の運動

$$[C] = [s \cdot A]$$

$$[T] = \dfrac{kg}{s^2 \cdot A}$$

であるから，

ローレンツ力から，電流が磁場から受ける電磁力が得られることを確かめる。

下図のように，一様な磁場 $B$ 内に置かれた長さ $l$ の動線内を，一様な電流 $I$ が流れているときを考える。簡単のため，磁場 $\vec{B}$ は $y$ 軸正の方向を向いていると考える。

このとき，電流が磁場から受ける電磁力の大きさ $F$ は

$$F = I B l \sin{\theta}$$

と表される。電磁力の向きは，$z$ 軸正の方向となっている。

一方，電流は，電荷 $-e$ の複数の電子が，速さ $v$ で運動していると考えることもできる。

この電荷1個が受けるローレンツ力 $f$ は

$$f = e v B \sin{\theta}$$

と表すことができる。また，電子の動きは電流の向きと逆であり，かつ電子の電荷は負であることを考えると，このローレンツ力の向きは $z$ 軸の正の方向となる。

いま，電流が流れている導線の底面積を $S$，電子の数密度を $n$ とすると，

$$I = e v S n$$

という関係がある(詳しくは別記事にて解説予定です)。これより，この導線の長さ $l$ の範囲には，電子が

$$N = n \cdot l \cdot S = \dfrac{I}{e v S} l \cdot S = \dfrac{I l}{e v}$$

個存在すると考えられる。ローレンツ力は同じ $z$ 軸正の方向を向いているので，その合力の大きさは，各ローレンツ力の大きさを足し合わせることで求められ，

また，合力の向きは $z$ 軸正の方向となる。

よって，電荷が受けるローレンツ力と電流が受ける電磁力とは，本質的には同一のものである。

(1)ローレンツ力は，その定義より，荷電粒子の運動の方向と常に垂直に働くため，荷電粒子に対して仕事をしない。いま，磁場の大きさが一様であることから，荷電粒子は，自らの運動の方向とは垂直な方向に一定な力を受けながら，同じ速さで運動をし続ける。これより，荷電粒子の運動は円運動となる。

(2)この円運動の半径を求める。円運動の加速度は，速さ $v_1$ を用いて $v_1^2 / R_1$ と書くことができる。円運動の運動方程式より

$$m \dfrac{v_1^2}{R_1} = e v B$$

$$\therefore R_1 = \dfrac{m v_1}{e B}$$

と求められる。

この荷電粒子ははじめ原点 $O$ にあり，$x$ 軸正方向に打ち出された。ローレンツ力ははじめ $z$ 軸負方向にはたらくため，荷電粒子は $xz$ 面の $z < 0$ の領域を，原点 $O$ を通り，半径 $R_1$ で円運動する。この円の軌跡は下図のようになる。

したがって，この円の中心 $P_1$ の座標は

$$(x_1, y_1, z_1 ) = \left( 0, 0, - \dfrac{m v_1}{e B} \right)$$

と求められる。

(3)はじめ，運動の方向と磁場の方向とが平行になっているため，粒子にはたらくローレンツ力は0となる。したがって，はじめ粒子は $y$ 軸正の方向に速さ $v_2$ で等速直線運動する。その後も粒子の運動の方向と磁場の方向とが平行になっているため，粒子にはたらくローレンツ力は0のままであり，粒子の速度は不変のまま保たれる。したがって，荷電粒子の運動は，$y$ 軸正の方向に速さ $v_2$ で進む等速直線運動となる。

(4)荷電粒子は $x$ 軸方向に速度成分 $v_3 \cos{\theta}$，$y$ 軸方向に速度成分 $v_3 \sin{\theta}$ を持つ。したがって，荷電粒子は $xz$ 平面上で速さ $v_3 \cos{\theta}$ の円運動をしながら，$y$ 軸正の方向に速さ $v_3 \sin{\theta}$ で等速直線運動する。$xyz$ 空間では，この運動は螺旋運動となる。

(5)粒子が原点を離れたあと，再び $y$ 軸上に粒子が到達するのは，$xz$ 平面での円運動が1周したときである。粒子が原点を離れて1周が終わるまでの時間を $T$ とすると，$T$ は $xz$ 平面での円運動の周期に相当する。

まず，この円運動の半径 $R_3$ を求める。(2)での議論より

$$R_3 = \dfrac{m v_3 \cos{\theta}}{e B}$$

したがって

$$T = \dfrac{2 \pi R_3}{v_3 \cos{\theta}} = \dfrac{2 \pi m}{e B}$$

粒子は $y$ 軸正方向に等速直線運動しているので，点Qの $y$ 座標を $y_3$ とすると

$$y_3 = v_3 \sin{\theta} \cdot T = \dfrac{2 \pi m v_3 \sin{\theta}}{e B}$$

したがって，点Qの座標は $\left( 0, \dfrac{2 \pi m v_3 \sin{\theta}}{e B}, 0 \right)$ である。