電池の内部抵抗

電圧計は非常に抵抗が大きく，電圧計には電流が流れないとしてよい。また，電流計は非常に抵抗が小さく，電流計での電圧降下はないとしてよい。(詳しくは別記事にて解説予定です)

(1)考えるべき回路は以下のようになる。

電池の内部抵抗の公式(あるいはキルヒホッフの第2法則)より

$$V_1 = E - r I_1$$

これをグラフとして書くと下図のようになる。

(2)考えるべき回路は以下のようになる。

電池の内部抵抗の公式(あるいはキルヒホッフの第2法則)より

$$0 = E - (r + R_0) I_2$$

$$\therefore I_2 = \dfrac{E}{r + R_0 } [A]$$

(3)回路図は下図のようになる。

このとき，電池の内部抵抗の公式(あるいはキルヒホッフの第2法則)より，可変抵抗を流れる電流 $I$ について，

$$E - r I = V = R I$$

$$\therefore I = \dfrac{E}{r + R}$$

したがって，可変抵抗で消費される消費電力 $P_R$ は

$$P_R = R I^2 = \dfrac{E^2 R}{(r + R)^2 }$$

(4)$r > 0, R > 0$ に注意して

$$\dfrac{d P_R}{d R} = E^2 \dfrac{(r + R) - R \cdot 2 (r + R)}{(r + R)^4} = E^2 \dfrac{r - R}{(r + R)^3 }$$

と計算できる。これより，$R < r$ では $P'(R) > 0$，$R = r$ では $P'(R) = 0$，$R > r$ では $P'(R) < 0$ が成り立つことがわかる。したがって，$P(R)$ は $r = R$ で最大値をとる。

$$\therefore R_1 = r [\Omega]$$

このときの可変抵抗での消費電力は

$$P = P(r) = \dfrac{E^2}{4 r} [W]$$

と求められる。