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数学１a

2次関数　方程式の問題

問題文整数mに対して、、、の問題で、

（1）ばんは、少なくとも解を一つもつので、判別式Dを使ってm^2-m+4が0以上としてしまうと失敗してしまいます（mは全ての実数になる）

これはなぜでしょうか

そして、（２）の解p-qの値がなぜ３以上５未満だとわかるのでしょうか

どこを見落としているのでしょうか

この問題を最初から懇切丁寧に教えてください

２００８年、秋田大学の問題

添付画像1 添付画像2
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回答 1件

ベストアンサー

mmii

(1)ですが、判別式はあくまで"実数解\boldsymbol{実数解}"が(いくつ)あるかを判別する式なので、整数解があるかどうかは判別できないです。そこで判別式D≧0D≧0ではなく

D=n2(n整数)D=n^2(n整数)になるように使ってあげると以下のようになります。


解を求めたいのでf(x)=0f(x)=0として解の公式を使うと

x=m±m2−4×1×(m4−1)2 x={m\pm\sqrt{m^2-{4×1×({m\over 4}-1)}}\over 2}

=m±m2−m+42={m\pm\sqrt{m^2-m+4}\over 2}なので

m2−m+4＝n2(n整数){m^2-m+4}＝n^2 (n整数)となるnが存在するはずである　(←D=n2D=n^2)

よって


(a)(\boldsymbol{a}) m>0m>0のとき(m−2)2<(m+2)2(m-2)^2<(m+2)^2の間に挟むことができるので

m2−m+4{m^2-m+4}は(m−1)2,m2,(m+1)2(m-1)^2,m^2,(m+1)^2のいずれかである

・(a.1)(a.1) m2−m+4=(m−1)2{m^2-m+4}=(m-1)^2のとき、m=−3m=-3となりm>0m>0を満たさな

　い。よって不適。

・(a.2)(a.2) m2−m+4=m2{m^2-m+4}=m^2のとき、m=4m=4となりm>0m>0を満たし、

　m=4m=4のとき、x=4,0x=4,0なので整数解となる。

・(a.3)(a.3) m2−m+4=(m+1)2{m^2-m+4}=(m+1)^2のとき、m=1m=1となりm>0m>0を満たすが、

　m=1のときx=32,−12m=1のときx={3\over 2},{-{1\over 2}}であり整数解とならない。よって不適。

　(a.1),(a.2)(a.3)(a.1),(a.2)(a.3)よりm=4m=4で整数解をもつ


(b)(\boldsymbol{b}) m=0のときx=1,−1m=0のときx=1,-1であり整数解をもつ


(c)(\boldsymbol{c}) m<0のとき(a.1)よりm=−3のときm<0を満たすm<0のとき(a.1)よりm=-3のときm<0を満たすが、

m=−3のときx=12,−72m=-3のときx={1\over 2},{-{7\over 2}}であり整数解をもたない。


よって(a),(b),(c)(\boldsymbol{a}),(\boldsymbol{b}),(\boldsymbol{c})より

m=4,0m=4,0のときxxは整数解をもつ。


(2)ですが、まずm:奇数かつ頂点のx座標=m2m:奇数かつ頂点のx座標={m\over2}よりα,βα,βが片方のみ整数となる事はない(対称性より)ので

α,β実数α,β実数とすると

・α,βが共に整数のとき∣α−β∣は最小となりα,βが共に整数のとき|α-β|は最小となり

例えば　(α,β)=(1,4)(α,β)=(1,4)のとすると整数解x=1,2,3,4x=1,2,3,4をもつ

　　このとき　3≦∣α−β∣3≦|α-β|

・α,βが共に整数でないときk→0で∣α−β∣は最大となりα,βが共に整数でないときk→0で|α-β|は最大となり

例えば　(α,β)=(0+k,5−k)=(0.01,4.99)(α,β)=(0+k,5-k)=(0.01,4.99)のときは整数解x=1,2,3,4x=1,2,3,4をもつ。

　　このとき　∣α−β∣<5|α-β|<5

よって

　3≦∣α−β∣<53≦|α-β|<5


長くなってしまいましたがいかがでしょうか。

間違っていたらすみません。


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  • mmii

    最後のところ、「整数解」ではなく「f(x)≦0をf(x)≦0を満たす整数」ですね。

    失礼しました。


  • 退会したユーザー

    （2）よく考えたら太簡単でしたね

    算数のひきざんのはなしでした

  • 退会したユーザー

    （２）は、不等式を使った別解はないですかね

    こんな感じなのですが

    考えてみました

    後は４つの不等式の共通範囲を出します

    添付画像1
  • 退会したユーザー

    （1）,最低でも2種類の解答があるのですね

    ここで紹介された解法をもう一度自分で説明するとその理屈はこうですね（計算は省略して考え方のみ書きますそのほうが賢しいです）

    まずあなたがいった解法から

    問題文少なくとも整数解をひとつなので、（単に整数解をもつｍの値と考えれば良い）。Dは実数会xを調べるものなので使えない。ｘを解の公式で表すとルートがでてきて、そのルートが平方数となるようにすればXは整数解になりそうだ

    mの正負０で場合分けする

    mが正のとき

    直接平方数を出すのは難しいので、間接的にはさみうちのテクニックを使ってもとめる

    （つまり、そばにいる何かをにかいかけた数ということが明らかな数と大小ではさんで特定）候補は３とおり出てきて条件を満たすのは一つだけ。ｍ＝４

    ｍ＝０のときは重解なので自明

    ｍが負の数のときも同じようにやって、一つもないことがわかる

    よってｍ＝０、４

  • 退会したユーザー

    ２

    参考書に載っている解題办法もこれと相似

    いこうして、mは４の倍数ということがわかる

    （わかったなら、さっきの場合分け、あなたがいった解法の場合分けの手間も省けて、m＝-3はおかしいということがすぐみぬけますね）

    ｍ＝４ｎとおいて、式を書いて、ｘの解を求める

    そうすると√でてくるからはさみうちで場合分けする（正負、０）

    ｍ＝４。０とわかる

  • 退会したユーザー

    はさみうちのテクニック

    これは覚えたほうが良いですね

  • mmii

    私も、単純なことでも一回沼にはまっちゃうと自分では抜け出せないこともあるので、お役に立てたならよかったです。


    不等式での解き方はx=m2x={m\over2}で対称なので、軸の右側か左側のみでいいかなと思います。長くなりそうなので追記します。

    必要なければ無視してもらって構いません。

  • 退会したユーザー

    ありがとうございます!

  • mmii

    模範解答のテクニックとしては「４の倍数」「２乗で範囲を絞る」の２つかなと思いますが、前者は少し頑張れば計算できますし、なんかめっちゃ141\over4がでてくるなくらいなので、慣れればでいいかなってかんじです。

    後者は、整数とはいえひたすらmを代入しなくてはいけなくなってしまうのではさみうちは使えるようになるといいと思います。

  • mmii

    以下、計算

    ・f(m+32)=(m+32)2−m(m+32)+m4−1f({m+3\over2})=({m+3\over2})^2-m({m+3\over2})+{m\over4}-1≦0

    これを解くと

    m2−m−5≧0m^2-m-5≧0

    f(B)=0のとき、m=1±1−4×(−5)2=1±212f(B)=0のとき、m={1\pm\sqrt{1-4×(-5)}\over2}={1\pm\sqrt{21}\over2}

    m≦1−21)2m≦{1-\sqrt{21)}\over2}-①,1+212≦m{1+\sqrt{21}\over2}≦m-②

    ①より

    −25<−21<−16-25<-21<-16

    −5<−21<−4-5<-\sqrt21<-4

    −4<1−21<−3-4<1-\sqrt21<-3

    −2<1−212<1.5-2<{1-\sqrt21\over2}<1.5となり、mm整数なので

    m≦−2<−1.5m≦-2<-1.5よってm≦−2m≦-2-③

    ②も同様に

    2.5<1+212<32.5<{1+\sqrt21\over2}<3となり、mm整数なので

    2.5<3≦m2.5<3≦mよって3≦m3≦m-④

  • mmii

    ・f(m+52)=(m+52)2−m(m+52)+m4−1f({m+5\over2})=({m+5\over2})^2-m({m+5\over2})+{m\over4}-1≦0

    これを解くと

    m2−m−21<0m^2-m-21<0

    f(C)=0のとき、m=1±1−4×(−21)2=1±852f(C)=0のとき、m={1\pm\sqrt{1-4×(-21)}\over2}={1\pm\sqrt{85}\over2}

    1−85)2<m<1+852{1-\sqrt{85)}\over2}<m<{1+\sqrt{85}\over2}

    これを整数の範囲に直すと

    −4≦m≦5-4≦m≦5-⑤

    ③④⑤より

    m=−4,−3,−2,3,4,5m=-4,-3,-2,3,4,5であり

    　また、「グラフの対称性」と「f(x)≦0となる整数xがちょうど4つ」「グラフの対称性」と「f(x)≦0となる整数xがちょうど4つ」ということからmは偶数であるmは偶数である

    よって−4,−2,4-4,-2,4は不適

    m=−3,3,5m=-3,3,5


    となるのではないでしょうか。

    範囲を「最初に絞るか」「最後に絞るか」の違いですね。

    模範解答の方が計算量が少ないので楽ですが、どちらでもできないことはないと思います。ただ、範囲を絞るのを忘れないように。

  • mmii

    解）f(x)≦0となる整数x４つをf(x)≦0となる整数x４つをそれぞれx=B′,A′,A,Bx=B',A',A,Bとすると、

    A′<m2<AA'<{m\over2}<Aである。

    また、B+1=CB+1=Cとなる点を定めるとmmが整数なので

    A=m2+12=m+22A={m\over2}+{1\over2}={m+2\over2}

    B=m2+12+1=m+32B={m\over2}+{1\over2}+1={m+3\over2}

    C=m2+12+2=m+52C={m\over2}+{1\over2}+2={m+5\over2}

    と表すことができ、f(x)の整数解をα,β(β<α)f(x)の整数解をα,β(β<α)とすると

    B≦α<CB≦α<Cであり

    f(B)≦0すなわちf(m+32)≦0とf(C)>0すなわちf(m+52)>0f(B)≦0すなわちf({m+3\over2})≦0とf(C)>0すなわちf({m+5\over2})>0を解けばよい

    補足

    A=m+12A={m+1\over2}の間違いです。

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