45(4)についてお聞きしたいのですが、

もともとの$\alpha=a+bi$　$\bar\alpha=a-bi$ の性質を使っているだけです。

$\alpha=a+bi$　$\bar\alpha=a-bi$

より

$\alpha+\bar\alpha=(a+bi)+(a-bi)=2a$

また

$\alpha\bar\alpha=(a+bi)(a-bi)=a^2+-(bi)^2=a^2+b^2$

これを代入しています。

複素数の計算にばかり目をやると、基本的な性質を忘れがちですよね。