次の問題を教えてください。ご解答ありがとうございます！

整数の問題では、次の $3$ 点を考えれば解けることが多いです。

①約数・倍数の利用　→　積の形や因数分解

②余りで分類　→　合同式の利用

③不等式の利用　→　範囲の絞り込み

複数のアプローチ法が利用できる問題も多いですね。

今回の問題は①を主軸に、途中で②③も利用するというすべての考え方が学べる問題です。

$1\text{ 次}\times1 \text{ 次}$ の方程式の問題はよく見ますが、それが $2$ 次に拡張されたパターンです。

数学の問題を解くうえで、解答へのアプローチとして重要なもののひとつに「具体化(単純化)」と「抽象化(拡張)」があります。

これができるようになると、数学の得点も上がってくると思います。

前置きが長くなりましたが、以下が解答例です。

$$\begin{aligned}15x^2+2xy-y^2+8y-84&=0 \\\iff (5x-y+5)(3x+y-3)&=69\end{aligned}$$

であるから、$5x-y+5,3x+y-3$ はともに $69$ の約数である。

$(5x-y+5)+(3x+y-3)=8x+2$ であり、$x>0$ であることから

$$(5x-y+5,3x+y-3)=(3,23),(23,3)$$

のみに限られる。

$(5x-y+5,3x+y-3)=(3,23)$ のとき $(x,y)=(3,17)$ であり、

$(5x-y+5,3x+y-3)=(23,3)$ を満たす正の整数 $(x,y)$ は存在しない。