2010年大阪大学回転体の体積の問題です。
この問題は、立体Dが回転体であることに着目していくのですが、
どうしても一つ納得のいかないことがあります。
それは、模範解答は、ある断面をAとしたとき、その断面A内で「円」を動かしたときの領域を、回転させると立体Dが出てくるとして解くのですが、
では、すぐ近くの断面B内で円を動かした際に、断面Aの領域に追加部分を及ぼしたりはしないのでしょうか。
実際に動きまるのは球であり、立体的であるから、こういう疑問が出てくるわけです。
例えば、円錐を回転させる問題では、回転軸に垂直な断面を考え、その断面内で、断面を回転させます。これに納得がいく(＝正しい厳密な解法と思える)のは、実際に動いているのがまさしく断面であるから、ほかの断面に影響を及ぼすわけがないからです。
しかしこの大阪大学の問題は、そのことを曖昧にしているように気がします。
わかりにくい質問ですが、どうかよろしくお願いします。
すみません、実際の質問がどれなのかわかりにくかったです。
つまり知りたいのは、この模範解答が曖昧なのか、私が間違っているのか、ということです。
ベストアンサー
解答は正しいです。
が、論理的には「の接点」「の中心」についての言及が欲しいです。
まず大前提として、この問題で問われているのはの中心の存在領域です。
その上で、恐らく質問者さんがピンと来ていないのは、「切り方を間違えている」か「接点と中心の位置関係があやふや」かのどちらかでしょう。
切り方について、
今回の切断の方法は、回転軸(軸)に垂直な切断ではありません。回転軸を含む平面での切断です。なので断面を少しずらした断面とは、回転軸を含みながらだけ傾けた平面のことです。
(補足すると、この問題では体積を求める際にもう一度切断をすることになりますが、この切断が回転軸に垂直な切断です。)
の接点、の中心の関係について、
「の接点が切断面上にあるの中心が切断面上にあり、が接点を持つ」となります。
これはの中心が切断面上か切断面以外にあるかの場合分けによって証明できます。直観的にもの中心、の接点、及び回転軸が同一平面上にあるのは理解できると思います。
以上から、の接点が断面にあるときは、の中心は上に存在し、での領域に影響を及ぼすことは無いとわかります。
質問者からのお礼コメント
完全に変なことを考えてしまっていました。。中心の存在領域なのに、ここだけ球全体で話をしてしまいました。回答を見て気付きました。これからないようにします。ありがとうございました。