y=x^2をy軸の周りに1回転してできる曲面と、x=y^2をx軸の周りに1回転してできる曲面、この2つの曲面によって囲まれた部分の体積はいくらになりますか？私が求めたときはπ/12になりました。高校数学で無理矢理解いたのですが、大学数学を使うときれいに解けると聞いたので答え合わせがしたいです。

大学数学の範疇に入るかは微妙ですが，ひとまず下のように計算できます。

いま求積したい領域を $D$ としてその部分領域 $Q,R$ を次で定めます。

$$\begin{aligned} D &= \{(x,y,z) \mid y \geqq x^2 + z^2,\ x \geqq y^2 + z^2\} \\ Q &= D \cap \{(x,y,z) \mid x \geqq y,\ z \geqq 0\} \\ R &= Q \cap \{(x,y,z) \mid z = 0\}\end{aligned}$$

$D$ が平面 $z = 0$ と $x = y$ とに関して対称であるのに注意して，

$$V := \iiint_D dx dy dz = 4 \iiint_Q dx dy dz = 4\iint_R z dx dy。$$

$z(x,y) = ((x,y,0) \in R\ から\ D\ の境界面までの高さ) = \sqrt{y - x^2}$ なので，

$$\begin{aligned}\iint_R z dx dy &= \iint_R \sqrt{y - x^2} dx dy \\ &= \int_0^1 \int_{x^2}^x \sqrt{y - x^2} dy dx && (累次積分の形に)\\ &= \frac{2}{3} \int_0^1 (x - x^2)^{\frac{3}{2}} dx && (内側の積分を計算)\\ &= \frac{2}{3} \int_{-\frac{1}{2}}^{\frac{1}{2}} \left(\frac{1}{4} - t^2\right)^{\frac{3}{2}} dt && (x = 1/2 - t) \\ &= \frac{1}{24} \int_{-\frac{\pi}{2}}^{\frac{\pi}{2}} \cos^4 u du && (t = \sin(u)/2) \\ &= \frac{\pi}{64}。\end{aligned}$$

以上から $V = \pi/16$ を得ます。

念のため検算してみたところやはり $V = \pi/16$ になったのでこちらが正しい値ではないでしょうか。