√(a-b)^2=|a-b|はa,bが複素数の時にも成り立ちますか？

Question

@oomario · Accepted Answer

[1] A，Bが共に実数のときは成り立ちます。

[2] どちらかが虚数のとき

左辺は実数にも虚数にもなり得ます。例えば $\sqrt{i } =$ $1+i \over \sqrt{2}$ 。

また，ご存知かもしれませんが，虚数の絶対値はガウス平面の原点からの距離となります。

よって右辺は必ず正の実数になります。例 $|{(i)^2}| =1$

これらのことから，どちらかが虚数のときは必ず成り立つとはいえません。

$例： a=i，b=0の時，左辺は\sqrt { (i-0)^2 } =i$ ，右辺は $|i-0|=1$ 。

@ontama_udon · Answer

$\sqrt{A}$の定義は、「$A$の平方根のうち$0$以上の実数であるもの」です。 虚数の平方根は虚数なので、本来は$\sqrt{虚数}$という数は存在しません。  ただそれだとつまらないので、$\sqrt{A}$の定義を「$A$の平方根」に限定して使うこともあります。  $\sqrt{(a-b)^2}=|a-b|$は$a,b$が複素数でも成り立つのかについてですが、 結論から言うと成り立ちません。 さっき言ったように虚数の平方根は虚数なので、$a-b$が虚数のとき、左辺の計算結果は必ず虚数になります。もちろん右辺は絶対値なので実数です。虚数=実数にはなりませんから、$a-b$が虚数のときが反例になります。