次の解答を教えて欲しいです🙇‍♀️

(1)一般項の推定ですので、$a_n=d(n-1)+a　(d:公差 a:初項)$とするのが妥当です

$$a_1+a_3+a_5=3a+6d=15　　a_2+a_6=2a+6d=14$$

これを解くと、$a=1,　d=2$がでて、$a_n=2n-1$と求まります

続いて和を求めて

$$S_n=\sum_{k=1}^{n} (2n-1)=n(n+1)-n=n^2$$

よって、求める和は$2500$です

$$\sum_{k=1}^{n}\dfrac{1}{(2n-1)(2n+1)}=\dfrac{1}{2}\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{2n+1}\right)$$

こうすればご存じの通り途中の項が全部消えますので、

$$\dfrac{1}{2}\left( \dfrac{1}{2n-1}-\dfrac{1}{3} \right)$$

(2)は最初は実際に値を入れてみましょう,$n^2$であるので

　$$r_1=1,　r_2=1,　r_3=0$$

がすぐわかります。この問いの意味は余りの取り方がどうなっているかを把握するためだと考えられます。3カウントで値がループしているので、次の和は簡単に求められます。つまり、

$$r_{3k-2}=1,　r_{3k-1}=1,　r_{3k}=0　と推定できます$$

$$よって　\sum_{k=1}^{50} r_k=\sum_{k=1}^{16}(r_{3k}+r_{3k-1}+r_{3k-2})+r_{49}+r_{50}=34$$

また、こう考えることもできます。

$$50から3の倍数になっている個数を引く$$

これは、$r_{3k}のみが0を取るからです。3の倍数は50までに16$個あるので

$$50-16=34$$

つまり答えは$34$となります