次の解答を教えて欲しいですm(*_ _)m

[1] (1)　直線 $AP$ の方程式を $y = f(x)$ とすると，

$$f(x) = f(1) + f'(1)(x - 1) = 0 + (-a)(x - 1) = -ax + a$$

$f(x) = 1$ を解いて $x = \dfrac{a - 1}{a}$ を得ます。

(2)

$$\begin{aligned}\triangle ABQ &= \frac{1}{2} \cdot |BQ| \cdot |BA| = \frac{1}{2a} \\\triangle CPQ &= \frac{1}{2} \cdot |CQ| \cdot |CP| = \frac{(a - 1)^2}{2a}\end{aligned}$$

(3)　$\triangle ABQ, \triangle CPQ$ の面積の和は，

$$S = \frac{1}{2a} + \frac{(a - 1)^2}{2a} = \frac{a}{2} + \frac{1}{a} - 1$$

ここで相加相乗平均の不等式から，

$$\frac{a}{2} + \frac{1}{a} \geqq 2\sqrt{\frac{a}{2} \cdot \frac{1}{a}} = \sqrt{2}$$

等号成立条件は $\dfrac{a}{2} = \dfrac{1}{a} \iff a = \sqrt{2}$ なので，$a = \sqrt{2}$ のときに最小値 $S = \sqrt{2} - 1$ をとります。

[2]　$2 + 2i$ 以外の根を $\alpha,\beta$ とします。根と係数の関係から，

$$\left\{\begin{aligned} \alpha + \beta + 2 + 2i &= a \\ \alpha\beta + \beta(2 + 2i) + (2 + 2i)\alpha &= 4 \\ \alpha\beta(2 + 2i) &= -b \\\end{aligned}\right.$$

簡単のために $y = \alpha + \beta, z = \alpha\beta$ とおいて，

$$\left\{\begin{aligned} y + 2 + 2i &= a \\ z + (2 + 2i)y &= 4 \\ z(2 + 2i) &= -b \\\end{aligned}\right.$$

いま方程式が $3$ つに対して未知数が $a,b,y,z$ の $4$ つあるので，一般に解は決定できないけれども，恐らく $a,b$ が実数という条件が決定に役立つと予想できます。そこで $y,z$ を消去して $a,b$ の関係式を導くと，

$$b = 8ia + 8 - 24i$$

だから $a = 3$，したがって $b = 8, y = 1 - 2i, z = -2 + 2i$。$\alpha,\beta$ は方程式 $x^2 - yx + z = 0$ の根なので，これを解いて答えを得ます。

$$\begin{aligned} x^2 - (1 - 2i)x - 2 + 2i &= 0 \\ (x + 1)(x - 2 + 2i) &= 0 \\ x &= -1, 2 - 2i\end{aligned}$$