数学の質問です。

あ、これ完全に外積ですね！　高校生では必要のない概念なので習ってないかもしれませんが、内積とは違ってあるんです。ここでいろいろ言っても仕方がないのでとにかく条件通りに進めてみましょう。(因みに初めてやります笑)

$$\overrightarrow c= (c_1,c_2,c_3) とかして、$$

$$|\overrightarrow c|=|\overrightarrow a||\overrightarrow b| \sin \theta$$

内積は、

$$\overrightarrow a・\overrightarrow b=|\overrightarrow a||\overrightarrow b| \cos \theta$$

この二つを成分表示で何とかして、

$$|\overrightarrow c|^2=(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|)^2\sin^2 \theta　　(\overrightarrow a・\overrightarrow b)^2=(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|)^2 \cos^2 \theta$$

くっつけられそうです

$$(\overrightarrow a・\overrightarrow b)^2=(|\overrightarrow a||\overrightarrow b|)^2-|\overrightarrow c|^2　三角比を消しました$$

ここから成分表示で頑張って計算していきます。

$$(a_1 b_1+a_2 b_2+a_3 b_3)^2=(a_1^2+a_2^2+a_3^2)(b_1^2+b_2^2+b_3^2)-c_1^2-c_2^2-c_3^2$$

ここからの計算はほんとに頑張れ、としか言いようがないのですが一応

$$(a_1 b_1)^2+(a_2 b_2)^2+(a_3 b_3)^2+2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1)$$

$=(a_1b_1)^2+(a_2b_2)^2+(a_3b_3)^2+(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2$

$+(a_2b_3)^2+(a_2b_1)^2+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2-(c_1^2+c_2^2+c_3^2)$

$$c_1^2+c_2^2+c_3^2=(a_1b_2)^2+(a_1b_3)^2+(a_2b_3)^2+(a_2b_1)^2+(a_3b_1)^2+(a_3b_2)^2$$

$$-2(a_1a_2b_1b_2+a_2a_3b_2b_3+a_3a_1b_3b_1)$$

地獄の因数分解

$$c_1^2+c_2^2+c_3^2=(a_1b_2-a_2b_1)^2+(a_2b_3-a_3b_2)^2+(a_3b_1-a_1b_3)^2$$

これでほとんど終わったも同然です。たぶん

$cと(なんちゃら)^2が1対1で関係を成しているように見えます$

ここで必要なのが$\overrightarrow c$は二つのベクトルの垂直であることだと思います。例えば、$c_3(z軸成分)で$考えてみたら、$\overrightarrow a$ $\overrightarrow b$を$xy$平面に、$\overrightarrow c$を$z$軸に回転させてみると、$a_3,b_3は0になりc_3$に干渉できていないと考えました。なので$c_3はa_1,a_2,b_1,b_2$にのみ依存していると思ったのです。これをあと二つでも同じように考えれば依存するパラメータが分かるかな？、と踏んだので

$$\begin{cases}c_1=±(a_2b_3-a_3b_2)　\\c_2=±(a_3b_1-a_1b_3) 　\\c_3=±(a_1b_2-a_2b_1)\end{cases}$$

ここらで符号の組み合わせがこうなっているのは検算すると分かるのですが、

内積を利用して、

$a_1c_1+a_2c_2+a_3c_3=±a_1(a_2b_3-a_3b_2)$

$±a_2(a_3b_1-a_1b_3) ±a_3(a_1b_2-a_2b_1)=0$

合っていることが無理やりですが分かります。(総当たりな気もします泣)

求めるベクトルは

$$∴(a_2b_3-a_3b_2,a_3b_1-a_1b_3,a_1b_2-a_2b_1),$$

$$(-a_2b_3+a_3b_2,-a_3b_1+a_1b_3,-a_1b_2+a_2b_1)$$

この説明は外積のことを知っているので結果から経路を辿ってしまったために変な感じになってしまいました。先ほど言ったように高校の範囲ではありませんが、調べてみると面白いですよ。

ー違和感や謎があればなんでも来てくださいー