∃θ　cosθ+asinθ＝√b

やり方はいろいろあると思いますが、簡単なものを示します。

$cosθ=s,sinθ=t$と置きます。この時$s^2+t^2=1$が成り立ち、問題の条件は、

$$s+at=\sqrt{b}かつs^2+t^2=1となる実数s,tが存在すること$$

と言い換えることができ、

これは、$st$平面において直線$s+at=\sqrt{b}$と円$s^2+t^2=1$が一つ以上の交点を持つことと同値になります。

よって、直線$s+at=\sqrt{b}$と原点との距離について次の不等式を得られます。

$$\frac{|\sqrt{b}|}{\sqrt{1+a^2}} \leqq 1$$

したがって求める領域は、

$$0 \leqq b \leqq 1+a^2$$