• 解決済み

    @Tonpei

    2023/8/18 18:09

    1 回答

    f(x)=sinx [0<x<π/2]における、y軸回転をした時のx軸とf(x)とπ/2で囲まれた部分の体積を教えてください！


    できればバームクーヘン分割の解き方でお願いします。

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    @Enigmathematics

    2023/8/19 0:08

    いきなりですがバームクーヘン積分の公式は

    V=∫ab2πx∣f(x)∣dxV=\int _{a}^{b} 2\pi x |f(x)| dx

    こんな感じだったと思います。これを利用すればちゃちゃっと出るので、

    V=∫0π22πx∣sin⁡x∣dx=∫0π22πxsin⁡xdxV=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x |\sin x| dx=\int _{0}^{\frac{\pi}{2}} 2\pi x \sin x dx

    部分積分を用いて答えは2π2\piとなると思います


    この積分の公式の具体的な意味としては、大根のかつらむきみたいな感じです(変な例えですみません)

    円柱の側面を薄くはぎ取った”面”を重ねてバームクーヘンのように”体積”を作り上げています。ですから、(下図参考)2πx∣f(x)∣2\pi x|f(x)|は面に当たり、dxdxこそがその積み重ね、といったとこでしょうか


    補足

    円柱に限った話ではないので、たいていの回転体に通用する考え方ですね。

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