数学の質問です。

$p$、$q$について

いま書かれている情報だけでは命題、条件を区別することはできません。

具体的な事柄について書かれていないためです。

が、そのどちらであっても上記同値関係は変わりません。

→$p$、$q$が条件である時、$p\Rightarrow q$は命題ですが、$\bar{p} \lor q$は条件ですよね？そうすると同値になるのは$p$、$q$が命題の時だけではないのかと思ったのですが、、、

$p,q$が条件なら$p\Rightarrow q$も条件のはずですが

例えば

ある$x$について$-1\leqq x\leqq 1 \Rightarrow x-1=0$

$-1\leqq x\leqq 1$, $x-1=0$がそれぞれ条件であり、また全体として$x=1$のときのみ真であることが分かるため条件です。

昔は条件なんてなかったので、書いていて気づいたのですが、任意と存在の違いかもしれませんね。

$-1 \leqq x \leqq 1 \Rightarrow x-1=0$は偽の命題ではないのですか？

例えば教科書には「条件$p$、$q$($p：x \gt 3、q：x \gt 1$)に就いて命題$p \Rightarrow q$は真である。」と書いてあるのですが、、、

$p$、$q$が条件の時、$p \Rightarrow q$は命題ではないのですか！？

いいえ。ややこしいですが、$-1\leqq x \leqq1$を満たすすべての$x$について述べたものではないため、条件です。

その教科書の例の場合は、たしかに$p,q$ともに条件ですが、全体としては真の命題となりますね。

$p$が偽の場合は全体として真であり、$p$が真の場合はどんな$x$であっても$q$が真となるからです。

教科書の例のように真偽の判断できない条件$p,q$であっても$p\Rightarrow q$が命題である場合もあれば、私の例や前回質問に答えてくださっていた方の例など条件になる場合もあります。

ごめんなさい😢まだ、「$-1 \leqq x \leqq 1 \Rightarrow x-1=0$」と「$-1 \leqq x \leqq 1 \Rightarrow -2 \leqq x \leqq 2$」の違いが良く分かりません。まだどちらも命題（前者は偽、後者は真）だとしか思えません、、、もう少し詳しく説明して頂けませんでしょうか？

大丈夫です。わかるまでお付き合いしますよ。

まず、条件とは何か。

変数が含まれており、その変数がある値に定まることではじめて命題となるもののことでした。

ここで、同じように変数を使った命題と区別すべき点は、その変数が「命題を満たすすべてのもの」なのか、それとも「命題を満たすもののうちの1つ(もしくは複数)」なのか、ということです。

$-1\leqq x \leqq1$で考えてみます。

これが真である命題であるとき、$x$とは-1以上1以下のすべての数のことです。偽ならその反対の範囲ですね。

これが条件であるとき、$x$の値は出題者によって後から提示されます。

「ではここで$x=0$としてみましょう」といったふうに。

そうして初めて、これは真であると判断できるので命題へと変わります。

(続きます)

では $p:-1\leqq x \leqq 1$, $q:x-1=0$ を条件としましょう。

この段階ではまだ$x$の値はわかりませんから、$p\Rightarrow q$ は条件になります。

出題者によって「$x=1$とします」と言われれば、$p$は真ですし、$q$も真ですから$p\Rightarrow q$ は真だと分かります。

同じように$x=0$と言われれば、$p$は真、$q$は偽ですから $p\Rightarrow q$ は偽です。

続いて、$q':-2\leqq x\leqq 2$を条件とします。

同じようにまだ$x$の値はわかりません。

ではなぜこちらは条件ではなく命題なのか。

それは、$x$の値が何であろうとも、$p$が真であれば$q'$も真であり、結果として$p\Rightarrow q'$は真となり、また$p$が偽である場合は$q'$の真偽に関わらず$p\Rightarrow q'$は真となるからです。

つまり、出題者に$x$の値を教えてもらう前から$p\Rightarrow q'$の真偽が判断できてしまうのです。

$p \Rightarrow q$に於いて$p$を満たす要素が全て$q$を満たすならば、$p \Rightarrow q$は真の命題、$p$を満たす要素が全て$q$を満たさなければ$p \Rightarrow q$は偽の命題であり、$p$を満たす要素の内、1つ以上全部未満が$q$を満たす（1つ以上全部未満が$q$を満たさない）ならば$p \Rightarrow q$は条件（$p$を満たす或る要素が$q$を満たせば条件$p \Rightarrow q$は真、$q$を満たさなければ条件$p \Rightarrow q$は偽）と言うことですか？

おおむねその通りです。

1か所違うのは「$p\Rightarrow q$は条件」の後の()内です。

条件なので、変数について「値を○○とする」となって初めて真偽が出せます。

1か所違うのは「$p \Rightarrow q$は条件」の後の()内です。

条件なので、変数について「値を○○とする」となって初めて真偽が出せます。

→ごめんなさい、それは私の語彙力の問題です。私もそう言うことを言いたかったんです、、、

丁寧な解説ありがとうございました！理解できました！