解と係数で解けませんか？

$\alpha$が有理数より、互いに素な整数$p$と自然数$q$を使って$\alpha=\dfrac{p}{q}$と表せる。

方程式に代入して、

$$\left(\dfrac{p}{q}\right)^3+a\left(\dfrac{p}{q}\right)^2+b\left(\dfrac{p}{q}\right)+c=0$$

両辺に$q^3$をかけて

$$\begin{align*}p^3+ap^2q+bpq^2+cq^3&=0\\p^3&=-q(ap^2+bpq+cq^2)\end{align*}$$

$p,q$は互いに素なので$q=1$

よって$\alpha$は整数。