この問題の世界一ほどよいヒントをくださいよろしくお願い致します。

ありがとうございます。今日の朝自転車乗りながら二つの事象にわけることは出来ました！そしてBの集団が一つであることも理解しましたが、どうしてもBの個数をどうしようもなく悩んでいる最中です。Bが1個、Bが2個、、、Bがn個まで全部を足さなければいけなくて、余事象も考えましたが難しく、、、、

でもいまこう書いていると思いつきました。そう、SIGMAです。こいつを排反事象の和として使うなど始めてのことで緊張しています。これから頑張ってこの方針で行こうと思うのですが、どうでしょうか。

解けたんですけど、どこが間違っているのかわからないので教えてください(;_;)

総和を使うのは正解です！

この問題で注意しないといけないのは、動かす文字が$i,k$の2つあることです。

ということで、間違いの個所ですが、「この時カクリツは」のあとですね。

式は

$$\sum_{k=1}^{n}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{k-1}\left\{\sum_{i=1}^{n-k+1}\left(\dfrac{1}{3}\right)^{i}\left(\dfrac{2}{3}\right)^{n-(k+i)+1}\right\}$$

こうなるので、2行目の$\dfrac{2}{3}$の指数をまとめる計算が出来ません。

最初のAを1群、次のBを2群、最後のAを3群として、

この式の意味は、まず2群と3群を並べて、その後1群を並べるということでしょうか？

そうですね。

なんか$k$を固定しておいてBが$i$回、その後$n$回目までA。

それが$k=1,\cdots,n$それぞれで起こる、という感じです。