1次元シュレディンガー方程式とパリティ

質量 $m$ の粒子がポテンシャル $V(x)$ のもとに置かれているとき，粒子の波動関数を $\psi(x,t) = \phi(x) T(t)$ とおくと，$\phi(x)$ について以下の方程式が成り立ちます。

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \phi(x)}{dx^2} + V(x)\phi(x) = E \phi(x) \tag{1}$$

この方程式は時間に依存しないシュレディンガー方程式(詳しくは定常状態におけるシュレディンガー方程式の一般解)などと呼ばれます。

この記事では，“ポテンシャル $V(x)$ が偶関数のとき，(1)の束縛状態であるような解 $\phi(x)$ は偶関数か奇関数のどちらかである”…(☆) ということを証明します。

(☆)の証明の前にまず，1次元シュレディンガー方程式の，束縛状態であるような固有状態は縮退していないことを証明します。

縮退とは，同じエネルギー固有値に対して複数の異なる波動関数が同じシュレディンガー方程式を満たすことです。また束縛状態とは，十分遠方で $0$ になるような解のことです。

ここで，量子力学において，ある波動関数 $f$ とその定数倍 $Af$ とは物理的には同じ状態を表していることに注意してください。なぜなら，量子力学において系を扱う際に重要となる量は，確率密度や期待値ですが，これらにおいて $A$ は $|A|^2$ のかたちで現れます。そして，波動関数を規格化することで，この $|A|^2$ の寄与は無視しても，物理として同じ状態を表すことができるようになるためです。

1次元シュレディンガー方程式(1)の固有状態のうち，あるエネルギー固有値 $E_a$ に対して縮退している解が存在すると仮定します。すなわち，この $E_a$ に対し，異なる固有状態 $\phi_1, \phi_2$ がともに1次元シュレディンガー方程式(1)の解になっていると仮定します。これより

$$\dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V(x)) \phi_1 = 0 \tag{2-1}$$

$$\dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2} + \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V(x)) \phi_2 = 0 \tag{2-2}$$

いま，固有状態として，恒等的に $0$ でないような解を考えることにすると，これらの式を変形して

$$\dfrac{1}{\phi_1} \dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} = - \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V(x)) \tag{2-1'}$$

$$\dfrac{1}{\phi_2} \dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2} = - \dfrac{2m}{\hbar^2}(E - V(x)) \tag{2-2'}$$

を得ることができます。(2-1’)，(2-2’)の右辺が等しいことより

$$\dfrac{1}{\phi_1} \dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} = \dfrac{1}{\phi_2} \dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2}$$

$$\therefore \phi_2 \dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} - \phi_1 \dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2} = 0 \tag{3}$$

ここで $$\begin{aligned} \dfrac{d}{dx} \left(\phi_2 \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} - \phi_1 \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} \right) &= \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} \cdot \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} + \phi_2 \dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} \\ &\quad - \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} \cdot \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} - \phi_1 \dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2} \\ &= \phi_2 \dfrac{d^2 \phi_1(x)}{dx^2} - \phi_1 \dfrac{d^2 \phi_2(x)}{dx^2} \qquad (4) \end{aligned}$$

に注意すると

$$\dfrac{d}{dx} \left(\phi_2 \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} - \phi_1 \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} \right) = 0$$

$$\therefore \phi_2 \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} - \phi_1 \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} =C \tag{5}$$

が成り立ちます。ここに，$C$ は初期条件などにより定まる定数です。

いま，シュレディンガー方程式の解として，束縛状態を考えていることに注意してください。両辺の $x \to \infty$ の極限を考えると，$\phi_1 \to 0, \phi_2 \to 0$ となるため，

$$C = 0$$

であることがわかります。ゆえに

$$\phi_2 \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} - \phi_1 \dfrac{d \phi_2(x)}{dx} = 0$$

$$\therefore \phi_2 \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} = \phi_1 \dfrac{d \phi_2(x)}{dx}$$

$$\therefore \dfrac{1}{\phi_1} \dfrac{d \phi_1(x)}{dx} = \dfrac{1}{\phi_2} \dfrac{d \phi_2(x)}{dx}$$

両辺を積分して

$$\begin{aligned} \ln{\phi_1} &= \ln{\phi_2} + C' \\ &= \ln{(D \phi_2)} \end{aligned}$$

ここで，$C', D$ は積分定数です($C' = \ln{D}$)。これより

$$\phi_1 = D \phi_2$$

が成り立つことが分かります。

しかし，これは $\phi_1$ と $\phi_2$ とが異なる状態を表す波動関数であることに矛盾します。

これより，1次元シュレディンガー方程式の，束縛状態となるような固有状態に対するエネルギー固有値は縮退していないことが分かりました。

この事実は，ポテンシャル $V(x)$　のかたちによらず成り立っています。

上で示した事実を用いて，ポテンシャル $V(x)$ が偶関数のとき，束縛状態であるような固有状態は偶関数か奇関数になることを示します。

$V(x)$ が偶関数，すなわち $V(x) = V(-x)$ が成り立っているとします。(1)について，引数に $-x$ を代入すると

$$-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \phi(-x)}{dx^2} + V(-x)\phi(-x) = E \phi(-x)$$

$$\therefore -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{d^2 \phi(-x)}{dx^2} + V(x)\phi(-x) = E \phi(-x) \tag{6}$$

(1)と(6)より，波動関数 $\phi(x), \phi(-x)$ は同じエネルギー固有値 $E$ に対するシュレディンガー方程式の解となっていることが分かります。

ここで，先ほど示した「1次元シュレディンガー方程式の，束縛状態となるような固有状態に対するエネルギー固有値は縮退していない」という事実より，$\phi(x)$ と $\phi(-x)$ には定数倍の違いしかありません。したがって

$$\phi(x) = c \phi(-x) \tag{7}$$

ここで，一般には $c$ は複素数の定数ですが，確率密度や期待値を考える際，$c$ は $|c|^2$ のかたちでのみ寄与することを考えると，$c$ は実数として考えてよいことが分かります。

(7)について，$x \to -x$ とすると

$$\phi(-x) = c \phi(x) \tag{7'}$$

(7)，(7’)より

$$\phi(x) = c^2 \phi(x)$$

$$\therefore c^2 = 1 \quad \text{i.e.} \quad c = \pm 1$$

$c =1$ のとき，(7)より $\phi(x) = \phi(-x)$，すなわち $\phi(x)$ は偶関数となります。

$c =-1$ のとき，(7)より $\phi(x) = -\phi(-x)$，すなわち $\phi(x)$ は奇関数となります。

したがって，ポテンシャル $V(x)$ が偶関数のとき，束縛状態であるような固有状態は偶関数か奇関数のいずれかとなる(パリティは偶か奇となる)ことが分かりました。