ボルンの確率解釈(確率規則)

量子力学においてシュレディンガー方程式が基本となる方程式であり，その解として波動関数 $\psi$ が与えられるということを，シュレディンガー方程式の導出過程とその意味 -その1-，シュレディンガー方程式の導出過程とその意味 -その2-，シュレディンガー方程式の導出過程とその意味 -その3- で議論しました。

$\psi$ は物理的にはどのような意味を持つのでしょうか。物理学者ボルンは，$\psi$ の絶対値の2乗 $|\psi(x,t)|^2$ が，時刻 $t$ ，位置 $x$ から $x + dx$ での粒子の存在確率を表すと解釈しました。この解釈により，従来の実験結果を，うまく説明することができたのです。この考えを ボルンの確率解釈(確率規則) と言います。この解釈はコペンハーゲン解釈とも呼ばれます。現在まで，ボルンの確率解釈と矛盾するような実験結果は見つかっていません。

以下では1次元で考えます。 ボルンの確率解釈に基づいて，時刻 $t$, 位置 $x$ における確率密度 $\rho$ は以下のように定義されます。

$$\rho(x, t) = |\psi(x,t)|^{2} = {\psi(x,t)}^{*} \psi(x,t)$$

ここに，${\psi}^{*}$ は $\psi$ の複素共役を表します。

確率密度(関数)について，詳しくは 確率密度関数の意味と具体例 をご覧ください。

$\rho$ が確率密度であることから，以下の式が成り立つことが要請されます。

$$\int^{\infty}_{- \infty} dx \rho (x,t) =\int^{\infty}_{\infty} dx \psi^* (x,t) \psi(x,t)= 1$$

以降，特に注意がなければ，$\int^{\infty}_{- \infty}$ を $\int$ と略記します。$\int dx \rho$ は，粒子が時刻 $t$，位置 $x$ に存在する確率を全空間で和をとったもので，全確率と呼んだりもします。

上式が成り立つことを，確率密度は規格化されている (あるいは波動関数が規格化されている)と表現します。この結果は，数学的には全確率が1であること，物理的には全空間に粒子が1個だけであることを意味します。

一般に，$\rho$ の全空間での積分が有限であれば，$\rho$ は規格化することが可能です。

いま，$N$ を正の実定数として

$$\int dx \rho(x,t) = \int dx \psi^* (x,t) \psi(x,t)= N$$

が成り立つと仮定します。このとき

$$\psi_{norm} = \dfrac{1}{\sqrt{N}} \psi(x,t)$$

とおき，この波動関数に対する確率密度を $\rho_{norm}$ とおくと，

$$\begin{aligned} \int dx \rho_{norm} (x,t) &= \int dx \psi_{norm}^{*} (x,t) \psi_{norm} (x,t) \\ &= \int dx \dfrac{1}{\sqrt{N}} \psi^* (x,t) \dfrac{1}{\sqrt{N}} \psi (x,t) \\ &= \dfrac{1}{N} \int dx \psi^* (x,t) \psi(x,t) \\ &= \dfrac{1}{N} N = 1 \end{aligned}$$

となり，確率密度(あるいは波動関数)を規格化することができました。

(注)上で定めた関係にある波動関数 $\psi$ と $\psi_{norm}$ とは同じシュレディンガー方程式を満たします。

一般に，$\int dx \rho(x,t)$ は $t$ の関数となります。ところが，これは全空間に粒子が存在する確率なので，時刻によらず常に1(あるいは何らかの正の実数)で一定であってほしいです。ここでは全確率が保存する条件について議論します。

まず，シュレディンガー方程式より以下が成り立ちます。以下では波動関数 $\psi$ は規格化されているものとします。

$$\begin{aligned} i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi(x,t) &= \left( - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} + V(x,t) \right) \psi(x,t)\\ &= - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi(x,t) + V(x,t) \psi(x,t) \tag{1} \end{aligned}$$

一方，(1)式の両辺の複素共役を取ると，以下の式が成り立ちます。

$$\begin{aligned} -i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^* (x,t) = - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi^* (x,t) + V^* (x,t) \psi^* (x,t) \tag{2} \end{aligned}$$

$(1) \times \psi^* - (2) \times \psi$ より

$$\begin{aligned} i \hbar \left(\psi^* \dfrac{\partial}{\partial t} \psi + \psi \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^* \right) = - \dfrac{\hbar^2}{2m} \left(\psi^* \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi - \psi \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi^* (x,t) \right) \\+ (V - V^*) \psi^* \psi \tag{3} \end{aligned}$$

ここで，積の微分則(詳しくは積の微分公式とその証明の味わい)より

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi - \psi \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) = \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \cdot \dfrac{\partial}{\partial x} \psi + \psi^* \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi \\- \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \cdot \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* - \psi \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi^* \\ = \left(\psi^* \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi - \psi \dfrac{\partial^{2}}{\partial x^{2}} \psi^* (x,t) \right) \end{aligned}$$

が成り立ちます。これより，(3)式は以下のように書き換えられます。

$$\begin{aligned} i \hbar \left(\psi^* \dfrac{\partial}{\partial t} \psi + \psi \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^* \right) = -\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi - \psi \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right)\\+ (V - V^*) \psi^* \psi \tag{4} \end{aligned}$$

いま，物理量 $J$ を

$$J \equiv -i \dfrac{\hbar}{2m} \dfrac{\partial}{\partial x} \left(\psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi - \psi \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) \tag{a}$$

を定義します。$J$ は粒子の存在確率の流れを表しています(後ほど補足します)。また

$$\dfrac{\partial}{\partial t} \rho = \dfrac{\partial}{\partial t} (\psi^* \psi) = \psi^* \dfrac{\partial}{\partial t} \psi + \psi \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^*$$

が成り立つことより，(4)式は整理すると

$$\dfrac{\partial}{\partial t} \rho= - \dfrac{\partial J}{\partial x} + \dfrac{1}{i \hbar} (V - V^*) \rho \tag{5}$$

と表すことができます。これより $t$ と $x$ は独立であるため

$$\begin{aligned} \dfrac{\partial}{\partial t} \int dx \rho &= \int dx \dfrac{\partial}{\partial t} \rho \\ &= \int dx \left(- \dfrac{\partial J}{\partial x} + \dfrac{1}{i \hbar} (V - V^*) \rho \right) \\ &= - \int dx \dfrac{\partial J}{\partial x} + \dfrac{1}{i \hbar} \int dx (V - V^*) \rho \\ &= - \left[\lim_{x \to \infty} J(x) - \lim_{x \to -\infty} J(x) \right] + \dfrac{1}{i \hbar} \int dx (V - V^*) \rho \tag{6} \end{aligned}$$

ここでは十分性のみ議論することにします。以下の2つの条件が満たされるとき，(6)式が０になることがわかります。

1. $\displaystyle \lim_{x \to \infty} J(x) =0$ かつ $\displaystyle \lim_{x \to -\infty} J(x) =0$ が成り立つとき

物理的には，無限遠で粒子の存在確率の流れが存在しない，すなわち粒子が存在しないことを意味します。

2. $V - V^* =0$ つまり $V$ が実数であるとき

ここまでの議論の結果をまとめてみましょう。

【補足】 J が確率の流れを表すことについて

物理量 $J$ を (a) 式のように定義します。(5)式において，$V$ が実数であることを用いると，

$$\dfrac{\partial}{\partial t} \rho + \dfrac{\partial}{\partial x} J = 0$$

が成り立ちます。この関係式(連続の公式とも呼ばれます)は流体力学にも登場します。流体力学ではこの関係式は，外部の吸い込みや湧き出しがないとき，密度 $\rho$ で流れ $J$ の流体の量は保存されるということを表しています。

これに則って量子力学で連続の公式を解釈すると，上記の 1. と 2. の条件が成り立つとき，(確率)密度 $\rho$，(確率の)流れ $J$ の確率は保存されると解釈することができます。これにより，(a)式で表される物理量 $J$ は確率の流れを表すと考えることができます。