量子力学における期待値

更新 2023/11/06

量子力学における期待値の意味や求め方について解説します。また，いくつかの例について計算をしてみます。

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期待値とは

期待値は，数学でも扱われる概念です。定義については，詳しくは 期待値と分散に関する公式一覧 をご覧ください。
期待値の求め方を簡単に説明します。量 AAA を十分な回数計測したとき，値 aia_iai​ が確率 pip_ipi​ で測定されたとします。このとき，AAA の期待値は
<A>=∑ipiai
<A> = \displaystyle \sum_{i} p_i a_i  
<A>=i∑​pi​ai​
となります。例えば，サイコロを1回投げたときに出る目を AAA とすると，1から6の目が出る確率は全て1/6なので，AAA の期待値は
<A>=1⋅16+2⋅16+3⋅16+4⋅16+5⋅16+6⋅16=216=3.5
\begin{aligned}
<A> &= 1 \cdot \dfrac{1}{6} + 2 \cdot \dfrac{1}{6} + 3 \cdot \dfrac{1}{6} + 4 \cdot \dfrac{1}{6} + 5 \cdot \dfrac{1}{6} + 6 \cdot \dfrac{1}{6} \\
&= \dfrac{21}{6} \\
&= 3.5
\end{aligned}
<A>​=1⋅61​+2⋅61​+3⋅61​+4⋅61​+5⋅61​+6⋅61​=621​=3.5​
となります。
AAA の取りうる値が連続的に分布していると考えられる場合には，上の公式を拡張した公式を用いて求める必要があります。具体的には，AAA の値 aaa が確率密度 ρ(a)\rho(a)ρ(a) で測定される場合には，AAA の期待値は
<A>=∫da ρ(a)a
<A> = \int da \,\rho(a) a
<A>=∫daρ(a)a
のように求められます。
量子力学では，量 AAA を位置や運動量などの物理量と考えて，期待値を求めることになります。
それでは，量子力学ではなぜ期待値を考えることになるのでしょうか。量子力学では物理量はある一定値を取るのではなく，確率により分布します。ゆえに，量子力学にとって物理量は，その期待値によって議論することが可能になります。実際には，実験などによって十分な回数の物理量の測定を行い，その平均として期待値を求めます。
ボルンの確率解釈についてもご覧ください。(ボルンの確率解釈(確率規則))

種々の例

量子力学で特に扱う機会の多い位置，運動量，エネルギーという物理量について，期待値の求め方を見ていきます。
以下では簡単のため1次元で考え，∫∞∞dx\int^{\infty}_{\infty} dx∫∞∞​dx は ∫dx\int dx∫dx と略記します。また，以下の条件を考えます。
波動関数は規格化されているとします。
波動関数 ψ(x,t)\psi(x,t)ψ(x,t) は，十分遠方では 000 であると考えます。
全確率は保存されるものと考えます。
位置の期待値位置 xxx の期待値 <x><x><x> は，
<x>=∫dxρ(x,t)x=∫dx∣ψ∣2x=∫dxψ∗xψ(1)
<x> = \int dx \rho(x,t) x = \int dx |\psi|^2 x = \int dx \psi^* x \psi \tag{1}
<x>=∫dxρ(x,t)x=∫dx∣ψ∣2x=∫dxψ∗xψ(1)
のように求められます。ここで，最後の式変形では ψ\psiψ と xxx の順序を入れ替えていますが，これはこの後の期待値の表式と合わせるためです。
(注)一般に，波動関数と xxx の関数とは積の順序を入れ替えてよいことが知られています。
補足1：演算子による表現量子力学では，物理量それぞれに対応する演算子を考えることができます。
位置に対応する演算子 xundefined\widehat{x}x は xxx であると考えて良いことが知られています(演算子に関しては別の記事で解説します)。これより
<x>=∫dxψ∗xundefinedψ
<x> = \int dx \psi^* \widehat{x} \psi
<x>=∫dxψ∗xψ
補足2：位置の一般の関数の場合より一般に，位置 xxx の関数 f(x)f(x)f(x) の期待値 は，
<f(x)>=∫dxψ∗f(xundefined)ψ
<f(x)> = \int dx \psi^{*} f(\widehat{x}) \psi
<f(x)>=∫dxψ∗f(x)ψ
のように求められることが知られています。
運動量の期待値運動量の期待値を，古典論の類推から求めてみましょう。
古典論では，
p=mv=mddtx
p = mv = m \dfrac{d}{dt} x
p=mv=mdtd​x
という関係が成り立っています。これを期待値へ拡張してみると
<p>=mddt<xundefined>
<p> = m \dfrac{d}{dt} <\widehat{x}>
<p>=mdtd​<x>
が成り立つものと考えられます。(1)式を代入して
<p>=mddt∫dxψ∗xψ=m∫dxddt(ψ∗xψ)=m∫dx[(∂∂tψ∗)xψ+ψ∗x∂∂tψ](2)
\begin{aligned}
<p> &= m \dfrac{d}{dt} \int dx \psi^* x \psi \\
&= m \int dx \dfrac{d}{dt} (\psi^* x \psi) \\
&= m \int dx \left[ \left( \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^* \right) x \psi + \psi^* x \dfrac{\partial}{\partial t} \psi \right] \tag{2}
\end{aligned}
<p>​=mdtd​∫dxψ∗xψ=m∫dxdtd​(ψ∗xψ)=m∫dx[(∂t∂​ψ∗)xψ+ψ∗x∂t∂​ψ]​(2)
先の章で話したように，量子力学では位置の値 xxx は，ttt に依存する力学変数ではなく，測定値となっています。したがって，xxx は ttt に依存しないものとして計算してよいです。
ここで，全確率が保存する条件のもとで，シュレディンガー方程式およびその両辺の複素共役をとったものを考えると
iℏ∂∂tψ=(−ℏ22m∂2∂x2+V)ψ(3)
i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi = (- \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V) \psi \tag{3}
iℏ∂t∂​ψ=(−2mℏ2​∂x2∂2​+V)ψ(3)
−iℏ∂∂tψ∗=(−ℏ22m∂2∂x2+V)ψ∗(4)
-i \hbar \dfrac{\partial}{\partial t} \psi^* = (- \dfrac{\hbar^{2}}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V) \psi^* \tag{4} 
−iℏ∂t∂​ψ∗=(−2mℏ2​∂x2∂2​+V)ψ∗(4)
(3)・(4)式を(2)式に代入すると
<p>=m∫dx[(ℏ2mi∂2∂x2ψ∗)xψ−Viℏψ∗xψ−ψ∗x(ℏ2mi∂2∂x2ψ)+Viℏψ∗xψ]=ℏ2i∫dx[(∂2∂x2ψ∗)xψ−ψ∗x(∂2∂x2ψ)](5)
\begin{aligned}
<p> &= m \int dx \left[\left(\dfrac{\hbar}{2mi} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* \right)x \psi - \dfrac{V}{i \hbar} \psi^* x \psi \\- \psi^* x \left(\dfrac{\hbar}{2mi} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi \right) + \dfrac{V}{i \hbar} \psi^* x \psi \right] \\
&= \dfrac{\hbar}{2i} \int dx \left[\left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* \right)x \psi  - \psi^* x \left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi \right) \right]  \qquad (5)
\end{aligned}
<p>​=m∫dx[(2miℏ​∂x2∂2​ψ∗)xψ−iℏV​ψ∗xψ−ψ∗x(2miℏ​∂x2∂2​ψ)+iℏV​ψ∗xψ]=2iℏ​∫dx[(∂x2∂2​ψ∗)xψ−ψ∗x(∂x2∂2​ψ)](5)​
ここで，部分積分により
∫dx(∂2∂x2ψ∗)xψ=[(∂∂xψ∗)xψ]−∞∞−∫dx∂∂xψ∗⋅∂∂x(xψ)=−∫dx(∂∂xψ∗)ψ−∫dx∂∂xψ∗⋅x∂∂xψ=−∫dx(∂∂xψ∗)ψ−∫dx∂∂xψ∗x∂∂xψ(6)
\begin{aligned}
\int dx \left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* \right)x \psi &= \left[\left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right)x \psi \right]^{\infty}_{- \infty} - \int dx \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \cdot \dfrac{\partial}{\partial x} (x \psi)\\
&= - \int dx \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) \psi - \int dx \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^*  \cdot x \dfrac{\partial}{\partial x} \psi\\
&= - \int dx \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) \psi - \int dx \dfrac{\partial}{\partial x}\psi^* x \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \quad (6)
\end{aligned}
∫dx(∂x2∂2​ψ∗)xψ​=[(∂x∂​ψ∗)xψ]−∞∞​−∫dx∂x∂​ψ∗⋅∂x∂​(xψ)=−∫dx(∂x∂​ψ∗)ψ−∫dx∂x∂​ψ∗⋅x∂x∂​ψ=−∫dx(∂x∂​ψ∗)ψ−∫dx∂x∂​ψ∗x∂x∂​ψ(6)​
が得られます。また上式の第1項をマイナスを除いて部分積分すると
∫dx(∂∂xψ∗)ψ=[ψ∗ψ]−∞∞−∫dxψ∗∂∂xψ=−∫dxψ∗∂∂xψ(7)
\begin{aligned}
\int dx \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) \psi &= [\psi^* \psi]^{\infty}_{-\infty} - \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi \\
&= - \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi \qquad (7)
\end{aligned}
∫dx(∂x∂​ψ∗)ψ​=[ψ∗ψ]−∞∞​−∫dxψ∗∂x∂​ψ=−∫dxψ∗∂x∂​ψ(7)​
また上式の第2項をマイナスを除いて部分積分すると
∫dx∂∂xψ∗x∂∂xψ　=[ψ∗x∂∂xψ]−∞∞−∫dxψ∗∂∂x(x∂∂xψ )=−∫dxψ∗∂∂xψ−∫dxψ∗x∂2∂x2ψ(8)
\begin{aligned}
\int dx \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* x \dfrac{\partial}{\partial x} \psi　&= 
\left[\psi^* x \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right]^{\infty}_{-\infty} - \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \left(x \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right) \\
&= - \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi - \int dx  \psi^* x \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi \qquad (8)
\end{aligned}
∫dx∂x∂​ψ∗x∂x∂​ψ　​=[ψ∗x∂x∂​ψ]−∞∞​−∫dxψ∗∂x∂​(x∂x∂​ψ )=−∫dxψ∗∂x∂​ψ−∫dxψ∗x∂x2∂2​ψ(8)​
(6)・(7)・(8)式より
∫dx(∂2∂x2ψ∗)xψ=∫dxψ∗∂∂xψ+∫dxψ∗∂∂xψ+∫dxψ∗x∂2∂x2ψ=2∫dxψ∗∂∂xψ+∫dxψ∗x∂2∂x2ψ
\begin{aligned}
\int dx \left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* \right)x \psi &= \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi +  \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \\
& \quad +\int dx  \psi^* x \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi \\
&= 2 \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi +\int dx  \psi^* x \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi
\end{aligned}
∫dx(∂x2∂2​ψ∗)xψ​=∫dxψ∗∂x∂​ψ+∫dxψ∗∂x∂​ψ+∫dxψ∗x∂x2∂2​ψ=2∫dxψ∗∂x∂​ψ+∫dxψ∗x∂x2∂2​ψ​
∴∫dx[(∂2∂x2ψ∗)xψ−ψ∗x∂2∂x2ψ]=2∫dxψ∗∂∂xψ(9)
\begin{aligned}
\therefore \int dx \left[\left( \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* \right)x \psi - \psi^* x \dfrac{\partial^2}{\partial x^2}\psi \right] =  2 \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi  \tag{9}
\end{aligned}
∴∫dx[(∂x2∂2​ψ∗)xψ−ψ∗x∂x2∂2​ψ]=2∫dxψ∗∂x∂​ψ​(9)
(5)・(9)式より，運動量の期待値は
<p>=ℏi∫dxψ∗∂∂xψ=∫dxψ∗(ℏi∂∂x)ψ=∫dxψ∗(−ℏi∂∂x)ψ
\begin{aligned}
<p> &= \dfrac{\hbar}{i} \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x}\psi \\
&= \int dx \psi^* \left(\dfrac{\hbar}{i} \dfrac{\partial}{\partial x} \right) \psi \\
&= \int dx \psi^* \left(- \hbar i \dfrac{\partial}{\partial x} \right) \psi
\end{aligned}
<p>​=iℏ​∫dxψ∗∂x∂​ψ=∫dxψ∗(iℏ​∂x∂​)ψ=∫dxψ∗(−ℏi∂x∂​)ψ​
のようにして求められることがわかりました。
補足：演算子を用いた表現上式の −ℏi∂∂x- \hbar i \dfrac{\partial}{\partial x}−ℏi∂x∂​ は，運動量に対応する演算子 pundefined\widehat{p}p​ として考えて良いことがわかっています。これを運動量演算子と呼びます。これにより
<p>=∫dxψ∗pundefinedψ<p> = \int dx \psi^* \widehat{p} \psi
<p>=∫dxψ∗p​ψ
と表すことができます。
ここまでの計算について，以下の記事も参考にしてください。
・シュレディンガー方程式の導出過程とその意味 -その3-
・共役複素数の覚えておくべき性質
・部分積分の公式と覚え方，例題
エネルギーの期待値位置・エネルギーの議論より，物理量 AAA の期待値は，それに対応する演算子 AAA を用いて，
<E>=∫dxψ∗Eundefinedψ
<E> = \int dx \psi^* \widehat{E} \psi
<E>=∫dxψ∗Eψ
と求められると類推されます。エネルギーに対応する演算子を考えてみましょう。
エネルギー EEE は，一般に，
E=p22m+V(x)
E = \dfrac{p^2}{2m} + V(x)
E=2mp2​+V(x)
と表現されます。これを位置・運動量演算子を用いて表現したものが，エネルギーの演算子であると考えましょう。つまり
Eundefined=pundefined22m+V(xundefined)=12m(−ℏi∂∂x)2+V(xundefined)=−ℏ22m∂2∂x2+V(x)
\begin{aligned}
\widehat{E} &= \dfrac{\widehat{p}^2}{2m} + V(\widehat{x}) \\
&= \dfrac{1}{2m} \left(-\hbar i \dfrac{\partial}{\partial x} \right)^2 + V(\widehat{x}) \\ 
&= - \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x)
\end{aligned}
E​=2mp​2​+V(x)=2m1​(−ℏi∂x∂​)2+V(x)=−2mℏ2​∂x2∂2​+V(x)​
これにより，エネルギーの固有値は
<E>=∫dxψ∗(−ℏ22m∂2∂x2+V(x))ψ
<E> = \int dx \psi^* \left(- \dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi
<E>=∫dxψ∗(−2mℏ2​∂x2∂2​+V(x))ψ
として求められます。
補足：演算子を用いた表現エネルギーの演算子の表式は，ハミルトニアン演算子 Hundefined\widehat{H}Hの表式と一致しています。ゆえに，エネルギーの期待値は
<E>=∫dxψ∗Hundefinedψ
<E> = \int dx \psi^* \widehat{H} \psi
<E>=∫dxψ∗Hψ
と表現することもできます。
位置・運動量・エネルギーの期待値の性質上で求めた3つの期待値は，実数となっていることが証明できます。実数であることの証明には，aaa が実数であることと，a=a∗a = a^*a=a∗ が成り立つこととは必要十分であることを用います。(詳しくは複素数，虚数，純虚数，実数をご覧ください)
位置の期待値が実数となっていること
位置 xxx は実数であるため，公式より
<x>∗=∫dxψx∗ψ∗=∫dxψ∗x∗ψ=∫dxψ∗xψ=<x>
\begin{aligned}
<x>^* &= \int dx \psi x^* \psi^* \\
&= \int dx \psi^* x^* \psi \\
&= \int dx \psi^* x \psi \\
&= <x>
\end{aligned}
<x>∗​=∫dxψx∗ψ∗=∫dxψ∗x∗ψ=∫dxψ∗xψ=<x>​
運動量の期待値が実数となっていること
公式より，部分積分を用いて
<p>∗=∫dxψ(−ℏi∂∂x)∗ψ∗=∫dxψ(ℏi∂∂x)ψ∗=ℏi∫dxψ∂∂xψ∗=ℏi[ψψ∗]−∞∞−ℏi∫dx(∂∂xψ)ψ∗=−ℏi∫dxψ∗∂∂xψ=∫dxψ∗(−ℏi∂∂x)ψ=<p>
\begin{aligned} <p>^* &= \int dx \psi \left(- \hbar i \dfrac{\partial}{\partial x} \right)^* \psi^* \\
&= \int dx \psi \left(\hbar i \dfrac{\partial}{\partial x} \right) \psi^* \\
&= \hbar i \int dx \psi \dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \\ 
&= \hbar i \left[\psi \psi^* \right]^{\infty}_{-\infty} - \hbar i \int dx \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right) \psi^* \\
&= - \hbar i \int dx \psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \\
&= \int dx \psi^* \left(- \hbar i \dfrac{\partial}{\partial x} \right) \psi \\ &= <p>
\end{aligned}
<p>∗​=∫dxψ(−ℏi∂x∂​)∗ψ∗=∫dxψ(ℏi∂x∂​)ψ∗=ℏi∫dxψ∂x∂​ψ∗=ℏi[ψψ∗]−∞∞​−ℏi∫dx(∂x∂​ψ)ψ∗=−ℏi∫dxψ∗∂x∂​ψ=∫dxψ∗(−ℏi∂x∂​)ψ=<p>​
エネルギーの期待値が実数となっていること
いま，全確率は保存されていることを考えているので，VVV は実数であると考えてよい。
ゆえに，公式より
<E>∗=∫dxψ(−ℏ22m∂2∂x2+V∗(x))ψ∗=−ℏ22m∫dxψ∂2∂x2ψ∗+∫dxψV∗(x)ψ∗=−ℏ22m∫dxψ∂2∂x2ψ∗+∫dxψ∗V∗(x)ψ=−ℏ22m∫dxψ∂2∂x2ψ∗+∫dxψ∗V(x)ψ
\begin{aligned}
<E>^* &= \int dx \psi (-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V^*(x)) \psi^* \\
&= - \dfrac{\hbar^2}{2m} \int dx \psi \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* + \int dx \psi V^*(x) \psi^* \\
&= - \dfrac{\hbar^2}{2m} \int dx \psi \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* + \int dx \psi^* V^*(x) \psi \\
&= - \dfrac{\hbar^2}{2m} \int dx \psi \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* + \int dx \psi^* V(x) \psi
\end{aligned}
<E>∗​=∫dxψ(−2mℏ2​∂x2∂2​+V∗(x))ψ∗=−2mℏ2​∫dxψ∂x2∂2​ψ∗+∫dxψV∗(x)ψ∗=−2mℏ2​∫dxψ∂x2∂2​ψ∗+∫dxψ∗V∗(x)ψ=−2mℏ2​∫dxψ∂x2∂2​ψ∗+∫dxψ∗V(x)ψ​
ここで，第1項の定数を除いた部分を部分積分すると
∫dxψ∂2∂x2ψ∗=[ψ∗∂∂xψ]−∞∞−∫dx(∂∂xψ∗)(∂∂xψ)=−[ψ∗∂∂xψ]−∞∞+∫dxψ∗∂2∂x2ψ=∫dxψ∗∂2∂x2ψ
\begin{aligned}
\int dx \psi \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi^* &= \left[\psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right]^{\infty}_{-\infty} - \int dx \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi^* \right) \left(\dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right) \\
&= -\left[\psi^* \dfrac{\partial}{\partial x} \psi \right]^{\infty}_{-\infty} + \int dx \psi^* \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi \\
&= \int dx \psi^* \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi
\end{aligned}
∫dxψ∂x2∂2​ψ∗​=[ψ∗∂x∂​ψ]−∞∞​−∫dx(∂x∂​ψ∗)(∂x∂​ψ)=−[ψ∗∂x∂​ψ]−∞∞​+∫dxψ∗∂x2∂2​ψ=∫dxψ∗∂x2∂2​ψ​
したがって
<E>∗=∫dx(−ℏ22mψ∗∂2∂x2ψ+ψ∗V(x)ψ)=∫dxψ∗(−ℏ22m∂2∂x2+V(x))ψ=<E>
\begin{aligned}
<E>^* &= \int dx \left(-\dfrac{\hbar^2}{2m} \psi^* \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} \psi + \psi^* V(x) \psi \right) \\
&= \int dx \psi^* \left(-\dfrac{\hbar^2}{2m} \dfrac{\partial^2}{\partial x^2} + V(x) \right) \psi \\
&= <E>
\end{aligned}
<E>∗​=∫dx(−2mℏ2​ψ∗∂x2∂2​ψ+ψ∗V(x)ψ)=∫dxψ∗(−2mℏ2​∂x2∂2​+V(x))ψ=<E>​
以上より，位置・運動量・エネルギーの期待値は，いずれも実数となることがわかります。
量子力学と古典力学と異なる点の一つが，この期待値という概念です。