慣性系と非慣性系の定義｜相対性原理と物理法則

更新 2022/01/26

この記事では，慣性系と非慣性系について解説します。座標系については，歴史的にさまざまな議論があり，難解な部分もあります。しかし，慣性系と非慣性系について理解することは，物理を理解する上で必須の条件です。

慣性系の定義

慣性系を定義するためには，Newtonの運動の第1法則を思い出す必要があります。
慣性の法則〜ニュートンの第1法則〜

Newtonの運動の第1法則(仮)

静止している質点は，力を加えられない限り静止を続け，動いている質点は，力を加えない限り同じ速さで直線運動を続ける。

上の第1法則の記述を見ると，疑問が1つ生じます。「静止している質点」というのは，何に対して静止しているのかということです。この世の運動は，何に対して運動しているか，というのが本質的であり，　何か基準となるものを用意しないと運動を語ることはできないのです。このことを，運動は相対的であるといいます。その意味で，上の運動の第1法則(仮)は，これのみでは不十分であるといえます。

そこである特別な座標系を1つ考えます。座標系における質点の座標が一定であることを「静止している」と表現できるので，この座標系では静止した状態が定義できます。等速運動も同様です。
この座標系において，静止している質点は，力を加えられない限り静止を続け，動いている質点は，力を加えない限り同じ速さで直線運動を続けるとします。すなわち，この座標系では，運動の第1法則(仮)が成り立つとします。

ここで気になるのは，このように運動の第1法則が成り立つ座標系が本当に存在するのかということです。そこで，発想を逆転させて，運動の第1法則(仮)が成り立つような座標系の存在をNewton力学の原理として仮定することにします。

Newtonの運動の第1法則

ある特別な座標系があって，その座標系に対して静止している質点は，力を加えられない限り静止を続け，動いている質点は，力を加えない限り同じ速さで直線運動を続ける。

この特別な座標系を慣性系と定義します。

この問題の(1)番のDHを求める問題で、三角形DMAを切り出して、直線AMに垂直になるように、DHを降ろしていますが、 2

2022年慶応志木の問題です。大問▪️3の(2)番で、このような問題がありました。ここで図を書くと、添付図のようにな 3

問あなたの今の気持ちを伝える文を書こう。という問題に下記の様に答えを書きました。 ●Im glad that giv 4

エタノール（C2H5OH）の量論比での酸化反応式と理論空燃比を求めよ A) 化学反応式 B) 理論空燃比 5

どんなものが慣性系になるのか

上の運動の第1法則では，慣性系が少なくとも1つ存在することを規定していて，慣性系がいくつあるのか，どのようなものがあるのか，ということについては何も言っていません。

結論から言うと，慣性系は運動の第1法則によって存在する慣性系と，それに対して等速運動する座標系となります。以下でそのことを示します。
まず運動の第1法則を根拠として，慣性系を1つとってきて，R\boldsymbol{R}R と名付けます。R\boldsymbol{R}R に対して，速度 V\boldsymbol{V}V で運動している座標系 R′\boldsymbol{R'}R′ を考え，R′\boldsymbol{R'}R′ 上でもNewtonの運動の第1法則(仮)が成り立つことを示せば証明完了となります。
R\boldsymbol{R}R　において，速度 v\boldsymbol{v}v で等速度運動している質点を考えます。この質点を R′\boldsymbol{R'}R′ から見ると，質点の速度は v−V\boldsymbol{v}-\boldsymbol{V}v−V となります。この速度も一定なので，R′\boldsymbol{R'}R′ でもNewtonの運動の第1法則(仮)が成り立つことがわかります。具体的に言うと，v=V\boldsymbol{v}=\boldsymbol{V}v=V のとき，R′\boldsymbol{R'}R′ では質点は静止し続け，v≠V\boldsymbol{v}\neq\boldsymbol{V}v=V の時等速直線運動を続けます。

非慣性系の定義と例

非慣性系は，その名の通り，慣性系ではない座標系として定義することができます。慣性系は運動の第1法則によって存在する慣性系と，それに対して等速運動する座標系全てだったので，非慣性系は，慣性系に対して加速度を持って運動する座標系と考えることができます。
非慣性系における運動の扱いは，別の記事で詳しく解説します。よってここでは簡単な紹介にとどめます。
慣性系に対して加速度並進する座標系慣性系に対して，加速度ベクトル a\boldsymbol{a}a を持って運動する座標系を考えます。この座標系では，粒子は以下の運動方程式に従って運動します。
md2xdt2=F−ma
m\dfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}=\boldsymbol{F}-m\boldsymbol{a}
mdt2d2x​=F−ma
左辺の項 −ma-m\boldsymbol{a}−ma は座標系の運動によって生じる項で，F\boldsymbol{F}F と合わせて力のように扱えるため，慣性力と呼ばれています。
慣性系に対して回転する座標系慣性系に対して回転する座標系における粒子の運動は，非常に複雑です。
md2xdt2=F−2mω×v′−mω×(ω×x′)−mdωdt×x′
m\dfrac{d^2\boldsymbol{x}}{dt^2}=\boldsymbol{F}-2m\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{v'}-m\boldsymbol{\omega}\times(\boldsymbol{\omega}\times\boldsymbol{x'})-m\dfrac{d\boldsymbol{\omega}}{dt}\times\boldsymbol{x'}
mdt2d2x​=F−2mω×v′−mω×(ω×x′)−mdtdω​×x′
ここで x′\boldsymbol{x'}x′ などは，座標系の慣性系に対する位置ベクトル
など，ω\boldsymbol{\omega}ω は角速度ベクトルと呼ばれる回転を記述するベクトルです。
この式の意味や，角速度ベクトルの定義などについては，以下の記事をご覧ください。

コリオリの力の導出

相対性原理

「運動はいつでも相対的である」というアイディアは，古来からずっと考察され続けてきました。そしてEinsteinによってついに相対性理論に昇華されました。以下では，相対性をめぐる3つのアイディアを紹介します。

ガリレイの相対性原理

Galileiの相対性原理

どのような慣性系に対しても同じ法則が成り立つ。(物理法則が不変である)

Galileiの相対性原理がある物理法則 $X$ について成り立つとき， $X$ はGalilei変換に関して共変な理論であるといいます。Galilei変換とは，物理系をある慣性系から他の慣性系に移す変換のことです。

例えば，上でNewton力学の要請から慣性系を定義したことからもわかるように，Newton力学はGalilei変換に関して共変な理論です。

対して，Maxwell電磁気学は，Galilei変換に関して共変な理論ではないことが知られています。

特殊相対性原理

どのような慣性系に対しても全ての物理法則は不変である。

Maxwell電磁気学が，Galilei変換に関して共変な理論ではないことに疑問を抱いたEinsteinがGalileiの相対性原理を拡張したのが上の特殊相対性原理です。

特殊相対性原理がある物理法則 $X$ について成り立つとき， $X$ はLorentz変換に関して共変な理論であると言います。
Lorentz変換については，以下の記事を参照してください。
ローレンツ変換

Einsteinは特殊相対性原理に加えて，以下の原理を要請し，特殊相対性理論を構築しました。

光速度不変の原理

全ての慣性系において，その慣性系から見た光速度は一定値 $c$ を持つ。

これらの特殊相対論の原理は，以下の記事で解説されています。
特殊相対性理論における原理

一般相対性原理

最終的に，Einsteinは相対性原理を以下の形に拡張し，一般相対理論を構築しました。

一般相対性原理

いかなる座標系においても，全ての物理法則は不変である。

一般相対性理論は電磁気力のみならず重力をも記述し，驚異的な成功を収めています。

一般相対性理論について，ここでは深入りしませんが興味がある方は，以下の記事等の，当サイトの記事をご覧ください。
一般相対性理論における主原理

座標系をめぐる議論を学ぶと，Einsteinってやっぱりすごい…といつも思います。