運動量保存則の例題

衝突の関係式より， $$-e(v_0-0)=v_1-v_2$$ また，運動量保存の法則より， $$m_1v_0+m_2\cdot0=m_1v_1+m_2v_2$$ ２式を解いて， $$v_1=\dfrac{m_1(1+e)}{m_1+m_2}v_0,V_2=\dfrac{m_1-em_2}{m_1+m_2}v_0$$ を得る。

(1)求める速さを $v$ とする。ブロックと弾丸からなる系には外力がはたらいておらず，運動量保存の法則を用いることができる。 $$mV_0=(M+m)v_0\\ \therefore v=\dfrac{mV_0}{M+m}$$ となる。

(2)弾丸がめり込む距離を $D$ として，$D\geq T$ となる条件を求めればよい。弾丸を打ち込むと，ブロックも動いてしまうので，相対運動を議論する必要がある。ここでは仕事とエネルギーの関係を用いる。

弾丸がブロックに $D$ だけめり込んで静止したとき，相対速度は $0$ であることに注意して， 相対運動エネルギー変化と仕事の関係を書くと以下のようになる。 $$FD=\dfrac{1}{2}\dfrac{Mm}{M+m}V_0^2-0$$ ここで換算質量 $\mu=\dfrac{Mm}{M+m}$ を用いている。これを $D$ について整理すると， $$D=\dfrac{1}{2F}\dfrac{Mm}{M+m}V_0^2\geq T$$ よって，これを $V_0$ について解いて， $$V_0\geq\sqrt{\dfrac{2FT(M+m)}{Mm}}$$ となる。(他にもブロックや弾丸にの運動方程式を立てて解く方法や，重心系の議論を用いる方法，v-tグラフを書く方法で解くことができる。)

(1)直角に進んだ光子の持つエネルギーを $E$，もう一方の光子の持つエネルギーを $E'$ とする。また，上の図ように $\theta$ を設定する。
エネルギー保存より， $$2mc^2+K=E+E'$$ 運動量保存より， $$\begin{aligned} \sqrt{2mK}&=\dfrac{E'}{c}\sin\theta\\ 0&=\dfrac{E}{c}-\dfrac{E'}{c}\cos\theta \end{aligned}$$ 1式目は水平方向，2式目は直角方向の運動量保存の式である。
これら2式と，光子がほぼ逆向きに進んだ($\theta\ll 1$)という仮定より，$E'\simeq E\gg \sqrt{2mc^2K}$ としてよい。

運動量保存の2式の2乗和をとって，
$$E'^2=E^2+2mc^2K=E\sqrt{1+\dfrac{2mc^2K}{E^2}}\simeq E$$ これとエネルギー保存の式より， $$E\simeq E'\simeq mc^2$$ となる。 運動量保存の式を辺々わることで， $$\tan\theta=\dfrac{\sqrt{2mc^2K}}{E}\simeq\sqrt{\dfrac{2K}{mc^2}}$$ を得る。

(2)陽電子と電子の重心系で見ると，これらはお互い逆向き同じ大きさで動くので，系の全運動量は $0$ である。しかし，対消滅後光子がただ1つ生じたとすると，その運動量は $p=\dfrac{h}{\lambda}$ となり，これは決して $0$ となりえないので矛盾が生じる。