気体分子運動論

更新日時 2021/03/30

気体分子運動論とは,原子論の立場から気体の性質を論ずる理論のことです。

ここでは高校物理で学ぶ気体分子運動論をわかりやすく解説します。

目次
  • 気体分子運動論(立方体の場合)

  • 気体分子運動論(球の場合)

  • 理想気体の内部エネルギーの導出

気体分子運動論(立方体の場合)

気体分子運動論の解説図

一辺の長さが LL の立方体の中に NN 個の単原子分子理想気体を入れます。また,各分子の質量を mm とします。

以下の条件のもとで議論を進めます。

  • 分子と壁との衝突は弾性衝突とする
  • 分子と壁との間に摩擦はないとする
  • 分子同士の衝突は無視する

図のように xyzxyz 空間に置かれた立方体中を自由に飛び回る各分子の,壁との衝突を考えます。また,図のように立方体の yzyz 平面に平行な面のうちの片方をA面とします。

壁に衝突する分子

ある1分子が1回の衝突で立方体のA面に与える力積 II を求めます。分子の速度を vvxx 軸方向の速度成分を vxv_{x} とすると,運動量変化と力積の関係より,m(vx)mvx=Im(-v_{x})-mv_{x}=-I

I=2mvx\therefore I=2mv_{x}

これを NN 分子に拡張して,圧力 PP を導きます。

1分子は,A面に衝突してから,再びA面と衝突するまでに,2Lvx\dfrac{2L}{v_{x}} の時間を要します。したがって,単位時間あたりにA面に与える力積は,2mvxvx2L=mvx2L2mv_{x}\cdot \dfrac{v_{x}}{2L}=\dfrac{mv^{2}_{x}}{L}

NN 分子が面Aに与える単位時間あたりの力積は,箱の中の全ての分子の vxv_{x} 平均を vˉx\bar v_{x} として,N×mvˉx2LN\times \dfrac{m \bar v^{2}_{x}}{L}

力積の定義から,単位時間あたりに壁が分子から受ける力積は,壁が分子から受ける力 FF に他ならないので,F=Nmvˉx2LF=N\dfrac{m \bar v^{2}_{x}}{L}

ここで,全分子の速度平均を vˉ\bar v とすると,vˉ2=vˉx2+vˉy2+vˉz2=3vˉx2\bar v^{2}=\bar v^{2}_{x}+\bar v^{2}_{y}+\bar v^{2}_{z}=3 \bar v^{2}_{x}

vˉx2=vˉ23\therefore \bar v^{2}_{x}=\dfrac{\bar v^{2}}{3}

すなわち,F=Nmvˉ23LF=N\dfrac{m \bar v^{2}}{3L}

A面の面積は L2L^{2} なので,圧力を PP とすると,P=FL2=Nmvˉ23L3P=\dfrac{F}{L^{2}}=\dfrac{Nm \bar v^{2}}{3L^{3}}

ここで L3=V(体積)L^{3}=V (体積) と置き換えれば,PV=13Nmvˉ2PV=\dfrac{1}{3}Nm\bar v^{2}

気体分子運動論(球の場合)

気体分子運動論は上記のように立方体の中の気体を考えることが多いですが,球の中の気体でも同様に議論を進めることが可能です。以下に簡単に球の場合の議論を示します。

気体分子運動論の球を用いた解説

球の壁に衝突する分子

半径 rr の球の中に,単原子分子理想気体を入れます。

1分子が1回の衝突である面に与える力積は,m(vcosθ)mvcosθ=Im(-v \cos\theta)-mv \cos\theta=-I

I=2mvcosθ\therefore I=2mv\cos\theta

1分子は球と衝突してから,再び球と衝突するまでに,2rcosθv\dfrac{2r\cos\theta}{v} の時間を要します。したがって,単位時間あたりに面に与える力積は,全 NN 分子で考えると,2mvˉcosθNvˉ2rcosθ=Nmvˉ2r2m\bar v\cos\theta\cdot\dfrac{N\bar v}{2r\cos\theta}=\dfrac{Nm\bar v^{2}}{r}

この右辺を FF とします。球の表面積は 4πr24\pi r^{2} なので,圧力を PP とすると,P=F4πr2=Nmvˉ24πr3P=\dfrac{F}{4\pi r^{2}}=\dfrac{Nm\bar v^{2}}{4\pi r^{3}}

ここで 43πr3=V(体積)\dfrac{4}{3}\pi r^{3}=V(体積) とすると,PV=13Nmvˉ2PV=\dfrac{1}{3}Nm\bar v^{2}

理想気体の内部エネルギーの導出

ここまでの議論で,PV=13Nmvˉ2PV=\dfrac{1}{3}Nm\bar v^{2} が得られました。さて,この式を少し変更して,気体の内部エネルギーを簡単に導出してみましょう。

理想気体の状態方程式より,PV=nRTPV=nRT なので,13Nmvˉ2=nRT\dfrac{1}{3}Nm\bar v^{2}=nRT

アボガドロ定数 NAN_{A} を用いると,nNA=NnN_{A}=N,すなわち,13nNAmvˉ2=nRT\dfrac{1}{3}nN_{A}m\bar v^{2}=nRT

12mvˉ2=32RNAT\therefore \dfrac {1}{2}m \bar v^{2}=\dfrac {3}{2}\dfrac {R}{N_{A}}T

ここで,ボルツマン定数を kBk_{B} を,kB=RNAk_{B}=\dfrac {R}{N_{A}} と定義して,12mvˉ2=32kBT\dfrac {1}{2}m \bar v^{2}=\dfrac {3}{2}k_{B}T

ゆえに,NN 個の単原子分子からなる気体のエネルギー UU は,U=32NkBTU=\dfrac {3}{2}Nk_{B}T

また,nNA=NnN_{A}=N からU=32nRTU=\dfrac {3}{2}nRT

気体分子運動論は入試でもこのままの形で出題されることが多いです。何も見なくても最初から最後まで書き切れるようにしておきましょう。