RLC回路の定義とRLC直列・並列回路のインピーダンス

RLC回路とは，抵抗・コイル・コンデンサーを用いて構成された回路のことです。 これらの回路素子は，コイルを含む交流回路やコンデンサーを含む交流回路などで見たように，それぞれ特異な性質を持っていました。 これらを組み合わせたRLC回路には興味深い性質があり，交流の概論で述べられていた回路の構成に利用されます。

では，これからこの回路の特性を調べていきましょう。

まず交流電源 $$\begin{aligned} V(t) = V_0 \sin \omega t \end{aligned}$$ 抵抗・コイル・コンデンサーを直列に繋いだ回路を考えます。 キルヒホッフ則から，次のような回路方程式が成り立ちます。 $$\begin{aligned} RI(t) + L\frac{dI(t)}{dt}+\frac{Q(t)}{C} = V(t) \end{aligned}$$ 両辺を微分して整理すると，以下のように書き直せます。 $$\begin{aligned} \frac{d^2I(t)}{d t^2} +\frac{R}{L}\frac{dI(t)}{dt} +\frac{1}{LC}I(t) = \frac{1}{L}\frac{dV(t)}{dt} \end{aligned}$$ この形の方程式は非斉次二階線形微分方程式と呼ばれるもので， 一般解は斉次解と特殊解の和で表されます。 これらのうち斉次解は共振回路で登場したもので，十分時間が経過すると減衰してしまうものでした。 回路のインピーダンスを計算する際には，電源によって駆動され続ける電流に興味があるので，この斉次解の寄与は無視しましょう。

特殊解は非斉次二階線形微分方程式で見たように $$\begin{aligned} I(t) = I_0 \cos(\omega t+\phi) \end{aligned}$$ と書いて係数 $I_0$ と位相 $\phi$ を求めることで見つかります。 これをもとの微分方程式に代入すると次のようになります。 $$\begin{aligned} \frac{\omega V_0}{L}\cos\omega t = \left(-\omega^2+\frac{1}{LC}\right) I_0 \cos(\omega t + \phi) -\frac{\omega R}{L}I_0\sin(\omega t+\phi) \end{aligned}$$ 式を整理すると $$\begin{aligned} V_0\cos\omega t &= -\left(L\omega - \frac{1}{C\omega}\right) I_0 \cos(\omega t+\phi) -RI_0 \sin(\omega t+\phi) \\ &= \sqrt{R^2+(L\omega-1/C\omega)^2 } \:I_0 \left[ \frac{-(L\omega-1/C\omega)}{\sqrt{R^2+(L\omega-1/C\omega)^2 }} \cos(\omega t+\phi) \right.\\ &\qquad\left. +\frac{-R}{\sqrt{R^2+(L\omega-1/C\omega)^2 }} \sin(\omega t + \phi) \right] \end{aligned}$$ となります。 これが恒等的に成り立たなければならないことから $$\begin{aligned} &I_0 = \frac{V_0}{\sqrt{R^2+(L\omega-1/C\omega)^2}} \\ &\phi = \tan^{-1}\frac{L\omega-1/C\omega}{R} \end{aligned}$$ だと分かります。 よって回路のインピーダンスは以下のようになります。

次に抵抗・コイル・コンデンサーの並列回路を考えます。 回路素子に流れる電流をそれぞれ $I_R(t), I_L(t), I_C(t)$ と書くことにしましょう。 キルヒホッフ則から，次のような回路方程式が成り立ちます。 $$\begin{aligned} V(t) = RI_R(t) = L\frac{dI_L(t)}{dt} = \frac{Q(t)}{C} \end{aligned}$$ ここで $Q$ はコンデンサーに蓄えられた電荷で $$\begin{aligned} \frac{dQ(t)}{dt} = I_C(t) \end{aligned}$$ を満たします。 $I_R(t),I_L(t),I_C(t)$ についての微分方程式をそれぞれ解くと $$\begin{aligned} I_R(t) &= \frac{V_0}{R}\sin\omega t \\ I_L(t) &= I_L(0) + \frac{V_0}{L\omega}(1-\cos\omega t) \\ I_C(t) &= C\omega V_0\cos\omega t \end{aligned}$$ となります。 これらの電流のうち直流成分は，現実の回路では十分時間が経つと減衰してしまうので無視しましょう。 つまり $I_L(0)= -V_0/L\omega$ とします。 これらの和を計算すると $$\begin{aligned} I(t) &= I_R(t)+I_L(t)+I_C(t) \\ &= \left( -\frac{1}{L\omega}+C\omega \right)V_0\cos\omega t +\frac{1}{R}V_0\sin\omega t \\ &= V_0 \sqrt{(1/R)^2+\left(-1/L\omega+C\omega\right)^2} \left[ \frac{(-1/L\omega+C\omega)}{\sqrt{(1/R)^2+\left(-1/L\omega+C\omega\right)^2}} \cos\omega t \right.\\ &\qquad\left. +\frac{1/R}{\sqrt{(1/R)^2+\left(-1/L\omega+C\omega\right)^2}} \sin\omega t \right] \end{aligned}$$ これを $I(t)=I_0\cos(\omega t+\phi)$ と比較すれば $$\begin{aligned} &I_0 = V_0 \sqrt{\left(\frac{1}{R}\right)^2+\left(-\frac{1}{L\omega}+C\omega\right)^2} \\ &\phi = \tan^{-1} \frac{1/L\omega-C\omega}{1/R} \end{aligned}$$ だと分かります。 よって回路のインピーダンスは以下のようになります。