コンデンサーを含む回路の解法

以下のように，コンデンサーの両極板に電荷が蓄えられているとする。コンデンサーを構成するのは導体であるから，静電誘導により，コンデンサーの外側にのみ電荷が分布することに注意する。

さらに静電誘導により，コンデンサー内の電場は0にならなければならない。ここで，以下のような面積 $S$ の金属平板に電荷 $Q$ が蓄えられているとき，その平板から放たれる電場 $E$ は

$$E = \dfrac{Q}{2 \varepsilon_0 S}$$

であることに注意する。図の上向きを正とすると，上側の極板内部について

$$-\dfrac{Q_1}{2 \varepsilon_0 S} + \dfrac{Q_2}{2 \varepsilon_0 S} + \dfrac{Q_3}{2 \varepsilon_0 S} + \dfrac{Q_4}{2 \varepsilon_0 S} = 0$$

$$\therefore -Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 0 \tag{1}$$

下側の極板内部について

$$-\dfrac{Q_1}{2 \varepsilon_0 S} - \dfrac{Q_2}{2 \varepsilon_0 S} - \dfrac{Q_3}{2 \varepsilon_0 S} + \dfrac{Q_4}{2 \varepsilon_0 S} = 0$$

$$\therefore -Q_1 - Q_2 - Q_3 + Q_4 = 0 \tag{2}$$

(1)-(2) より

$$2 (Q_2 + Q_3) = 0$$

$$\therefore Q_2 = - Q_{3} \tag{3}$$

(1) + (2) より

$$2 (-Q_1 + Q_4) = 0$$

$$\therefore Q_1 = Q_4 \tag{4}$$

また，コンデンサーの外側では電場は $0$ とみなしてよいから

$$\dfrac{Q_1}{2 \varepsilon_0 S} + \dfrac{Q_2}{2 \varepsilon_0 S} - \dfrac{Q_3}{2 \varepsilon_0 S} - \dfrac{Q_4}{2 \varepsilon_0 S} = 0$$

$$\therefore Q_1 + Q_2 + Q_3 + Q_4 = 0 \tag{5}$$

(3)と合わせて

$$Q_1 = - Q_4 \tag{6}$$

(4)と(6)より

$$Q_1 = Q_4 = 0$$

(1)はじめ，コンデンサーに蓄えられている電荷は $0$ なので，スイッチを1に入れた直後もコンデンサーに蓄えられている電荷は $0$。キルヒホッフの第二法則より

$$V = L \left. \dfrac{dI}{dt} \right| _{t=0}$$

求める値とは $\left. \dfrac{dI}{dt} \right|_{t=0}$ に他ならないので，求めるべき値は $\dfrac{V}{L}$ である。

(2)定常状態になったとき，コンデンサーに流れる電流は $0$ になる。この問題の回路には分岐がないから，求める電流 $I$ の値は

$$I = 0$$

さらに，この電流は定常状態では一定値となるから，コイルでの電圧降下は生じない。求める電荷の値を $Q$ とおくと，キルヒホッフの第二法則より

$$V = \dfrac{Q}{C}$$

$$\therefore Q =CV$$

(3)(2)までの $t$ と今後用いる $t$ は別の文字として扱う。

スイッチを1から2につなぎかえると，コンデンサーは放電を始める。$t$ 秒後にコンデンサーに蓄えられている電荷を $q$，回路を流れる電流を $i$ とおく。

キルヒホッフの第二法則より

$$L \dfrac{di}{dt} + \dfrac{q}{C} = 0$$

$$\therefore \dfrac{q}{C} = -L \dfrac{di}{dt} \tag{1}$$

図3での定め方より

$$\dfrac{dq}{dt} = i = \dot{q} \tag{2}$$

以降，簡単のため微分に関してニュートンの記法を用いる。

(2)を(1)に用いて変形して

$$\ddot{q} = -\dfrac{1}{CL} q$$

これは，力学での単振動の式と数学的に同じ形をしているため，解も同じ形で与えられる (詳しくは単振動のまとめをご覧ください)。

したがって

$$q = a \cos{\omega t} + b \sin{\omega t} \\ i = \dot{q}= -a \omega \sin{\omega t} + b \cos{\omega t}$$

ただし

$$\omega = \dfrac{1}{\sqrt{CL}}$$

スイッチをつなぎかえた直後，即ち $t=0$ では，コンデンサーの初期状態について解説したときと同様の理由で $q = Q = CV$，$i = I =0$ であるから，上式に代入し整理して

$$a = CV, b=0$$

よって，求める電荷 $q$，電流 $i$ は，それぞれ

$$q = CV \cos{\dfrac{1}{\sqrt{CL}}t}$$

$$i = -V \sqrt{\dfrac{C}{L}} \sin{\dfrac{1}{\sqrt{CL}}t}$$

(4)回路内に蓄えられているエネルギーを $U(t)$ とおく。時刻 $t$ においてコンデンサーが蓄えている静電エネルギー $U_C$ は

$$U_C = \dfrac{1}{2} \dfrac{q^2}C = \dfrac{1}{2} CV^2 \cos^2{\dfrac{1}{\sqrt{CL}}t}$$

時刻 $t$ においてコイルが蓄えている磁場エネルギー $U_L$ は

$$U_L = \dfrac{1}{2} Li^2 = \dfrac{1}{2} CV^2 \sin^2{\dfrac{1}{\sqrt{CL}}t}$$

したがって

$$U(t) = U_C + U_L = \dfrac{1}{2} CV^2$$

一方，$U(0)$ については，$t=0$ では，$q = Q = CV$，$i = I = 0$ であることより

$$U(0) = \dfrac{1}{2} \dfrac{Q^2}{C} + \dfrac{1}{2} LI^2 = \dfrac{1}{2} CV^2$$

したがって，

$$U(t) = U(0)$$

であることがわかるから，この系のエネルギーは保存される。

(1)初め，各コンデンサーに蓄えられている電荷はそれぞれ $0$ のままだから，求める電流を $I$ とおくと，キルヒホッフの第二法則より

$$V = RI$$

$$\therefore I = \dfrac{V}{R}$$

(2)定常状態になったとき，コンデンサー1，2，3に蓄えられている電荷をそれぞれ $Q_1$，$Q_2$，$Q_3$ とおく。このとき回路に流れている電流は $0$ になるから，キルヒホッフの第二法則より

$$V = \dfrac{Q_1}{C_1} + \dfrac{Q_2}{C_2} \tag{1}$$

$$\dfrac{Q_2}{C_2} = \dfrac{Q_3}{C_3} \tag{2}$$

また，下図の赤丸部分では電荷保存則が成り立つから，

$$-Q_1 + Q_2 + Q_3 = 0$$

$$\therefore Q_1 = Q_2 + Q_3 \tag{3}$$

まず(2)より

$$\dfrac{Q_2}{Q_3} = \dfrac{C_2}{C_3}$$

$$\therefore Q_2 : Q_3 = C_2 : C_3 \tag{2'}$$

(2’)，(3)より

$$Q_2 = \dfrac{C_2}{C_2 + C_3} Q_1 \\ Q_3 = \dfrac{C_3}{C_2 + C_3} Q_1$$

(1)に代入して

$$V = \dfrac{Q_1}{C_1} + \dfrac{Q_1}{C_2 + C_3} = \dfrac{C_1 + C_2 + C_3}{C_1(C_2 + C_3)} Q_{1}$$

$$Q_1 = \dfrac{C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} V$$

ここから

$$Q_2 = \dfrac{C_1 C_2}{C_1 + C_2 + C_3} V \\ Q_3 = \dfrac{C_1 C_{3}}{C_1 + C_2 + C_3} V$$

(3)抵抗と各コンデンサー及び導線を系とみなす。系に送られた電荷の総量は $Q_1$ であるから，電荷が系になした仕事 $W$ は，それぞれ

$$W = Q_1 V = \dfrac{C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} V^{2}$$

コンデンサー1，2，3が蓄えている静電エネルギーの合計 $U$ は，

$$U = \dfrac{1}{2} \dfrac{{Q_1}^2}{C_1} + \dfrac{1}{2} \dfrac{{Q_2}^2}{C_2} + \dfrac{1}{2} \dfrac{{Q_3}^2}{C_3} = \dfrac{1}{2} \dfrac{C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} V^2$$

よって，求めるジュール熱を $J$ とすると，熱力学第一法則 (詳しくは 熱力学第一法則｜仕事と内部エネルギーの関係 をご覧ください) またはエネルギー保存則より

$$W = J + U$$

$$\therefore J = W - U = \dfrac{1}{2} \dfrac{C_1(C_2 + C_3)}{C_1 + C_2 + C_3} V^2$$