うなりの公式と例題

複数の波が重なり合って新しい波形を作るとき，波は互いに強め合ったり弱め合ったりします。このような波どうしの相互作用のことを波の干渉といいます。

うなりは，この干渉の一部です。2つの振動数が異なる波の合成波の振幅が，周期的に変動する現象をうなりと言います。

上図の場合，2つの波の位相差は

$$\phi(t) = \theta_1 - \theta_2 = 2\pi (f_1-f_2)t+(\alpha_1-\alpha_2)$$

で表されます。

ある時間 $\Delta t$ 経つ間における位相差の変化は，

$$\phi(t_1 + \Delta t) - \phi(t_1) = 2\pi (f_1 - f_2)\Delta t$$

であるから, 位相差 $\phi$ は周期 $T = \dfrac{1}{|f_1-f_2|}$ ごとに，その大きさを連続的に $2\pi$ ずつ変えることがわかります。

前節における議論から，うなりの現象では次の公式が成り立ちます。

※振動数のことを周波数と表現することもありますが, 物理的にはどちらも全く同じ意味です。振動数と周波数は状況に応じて使い分けられる慣例があります。

この公式を以下で定性的に考察していきましょう。

振動数 $f_1$ と振動数 $f_2$の異なる波の合成波を考えましょう。

ただし $f_1 = \dfrac{1}{T_1}, f_2 = \dfrac{1}{T_2}, f_1 < f_2$ とします。

はじめ，2つの波が逆位相である時を考えましょう。

$T_2$ が $T_1$ よりわずかに小さいので，何周期かすると2つの波がちょうど半周期分だけずれて，同位相になります。

この時，2つの波は強め合います。

再び同じ時間だけ経つと，2つの波が再びちょうど波周期分だけずれて，今度は逆位相になります。

この時，2つの波は弱め合います。

この1回分の「強め合い・弱め合い」をうなりと呼んでいるわけです。

振幅が等しい2つの進行波 $y_1$, $y_2$ を考えます。

図中の点 $A$ と点 $B$ の間で合成波 $Y = y_1 + y_2$ を観測します。

それぞれ, 振動数が $f_1$, $f_2$, 波長が $\lambda_1$, $\lambda_2$, 初期位相が $\alpha_1$, $\alpha_2$ であるとし, $y_1$ は右向き（$+x$ 方向）に, $y_2$ は左向き（$-x$ 方向）に進行します。

$y_1$, $y_2$ はそれぞれ以下のように表されます。

$$y_1 = a \sin \left\{2\pi \left(f_1t - \dfrac{x}{\lambda_1} \right) + \alpha_1 \right\}$$

$$y_2 = a \sin \left\{2\pi \left(f_2t + \dfrac{x}{\lambda_2} \right) + \alpha_2 \right\}$$

初期位相のずれに関して,

$$\varDelta_+ = \dfrac{1}{2} (\alpha_2+\alpha_1) \\ \varDelta_- = \dfrac{1}{2} (\alpha_2-\alpha_1)$$

を定義すると, 合成波 $Y = y_1 + y_2$ は以下のように表されます。

$$\begin{aligned} Y &= y_1 + y_2 \\ &= 2a \cos \left\{ \pi (f_2-f_1)t + \pi \left(\dfrac{１}{\lambda_1} + \dfrac{１}{\lambda_2} \right)x + \varDelta_-\right\} \sin \left\{ \pi (f_1 + f_2) t - \pi \left(\dfrac{１}{\lambda_1} - \dfrac{１}{\lambda_2} \right)x + \varDelta_+ \right\} \end{aligned}$$

この合成波 $Y$ の式からうなりを定量的に考察することができます。

ただし点 $A$ の左側, および点 $B$ の右側では全く話が異なるという点に注意してください。