写真の赤線部についてですが、

今求めたい問題の平面は$P_0$のとり方によらない…①

①より、その平面の法線ベクトル$\boldsymbol{n}$は$P_0$のとり方によらない…②

①②より、点$H$は$P_0$のとり方によらない…③

点$O$は$P_0$のとり方によらない…④

③④より、$OH$の長さは、$P_0$のとり方によらない

たぶんこれだけでは説明不足だと思うので、以下にちゃんとした説明を載せます。

今回点$H$の定義は、「点$P_0$(ベクトル$\boldsymbol{r_0}$)から、原点を通りベクトル$\boldsymbol{n}$に平行な直線におろした垂線の足」という厄介な定義をしているので、点$H$は点$P_0$のとり方によって変わるように見えますが、じつはこの点$H$は「問題の平面と、原点を通りベクトル$boldsymbol{n}$に平行な直線の交点$H'$」と一致します。

これを示します。

問題の平面を$α$、

原点を通りベクトル$\boldsymbol{n}$に平行な直線を$l$とします。

つまり、$H$は$P_0$から$l$におろした垂線の足です。

また、$H'$は$α$と$l$の交点です。

【証明】

$H$は$P_0$から$l$におろした垂線の足⇒$P_0H$と$l$は$H$で垂直に交わる

$P_0$は$α$上の点、$H'$は$α$と$l$の交点⇒$P_0H'$は$l$と$H'$で交わる

$α$と$l$は垂直、$P_0H'$は$l$と$H'$で交わる⇒$P_0H'$と$l$は$H'$で垂直に交わる

$P_0H$と$l$は$H$で垂直に交わる、$P_0H'$と$l$は$H'$で垂直に交わる⇒$P_0H$と$P_0H'$は一致する

$P_0H$と$P_0H'$は一致する、$P_0H$と$l$は$H$で垂直に交わる⇒HとH'は一致する。

$H$は定義に$P_0$が入っていますが、$H'$の定義には$P_0$が入っていないので、$OH(=OH')$は$P_0$によらないと言えます。