数学ⅠA　Ⅰ　第一章、数と式の応用、思考力問題で不等式評価？の問題です

0 < a < b ……①

①の式を正の実数b で割ると 0 < a/b < 1

次に、a < bに正の実数aを両辺に足すと、2a < a+b

ここで、2aは正の実数だから、 0 < 2a < a+b ……②

②の式を正の実数a+b で割ると 0/a+b < 2a/a+b < a+b/a+b

てことは、0 < 2a/a+b < 1

てことは、0 < a/a+b < 1/2

同様に、a < b に正の実数b を両辺に足すと、 a+b < 2b ……③

③の式を正の実数a+b で割れば、 a+b/a+b < 2b/a+b

てことは、1/2 < b/a+b

また、0 < a に正の実数b を足すと、b < a+b

となることから、両辺をa+b で割って、 b/a+b < 1 となる。

てことは、 1/2 < b/a+b < 1

以上の議論を踏まえて、a=√2 + √5 を、b=√3 + √7 を代入してみる。

すると、0 < a < b を満たすから、上記の議論が使える。

すなわち、 0 < a/a+b < 1/2

a/a+b の値を四捨五入すれば0

不等式関連の問題は論理よりも発想力の方が重視される。

不等号の向きが変わらないように式変形することをまずは意識してみてほしい。

この問題を解く上で利用した性質は、

(1) a,bは実数とし、a < b のとき、a+c < b+c が成り立つ。

(cは全ての実数で成り立つ)

(2) a,bは実数とし、 a < bのとき、ca < cb , a/c < b/c が成り立つ。

(ただし、cが正の実数のときのみ)

この二つしかない。