なぜ、この問題は、全てを並べたものを全事象としているのですが、それを使っていて、なぜ正しい答えが求められるのですか？

もとの事象の確率を考えることと、対応する玉の並べ方を考えることが同じになるからです. 以下その説明です.

問題文の引き方について, 個々の引き方の確率はどれも同じであることに注意してください.

いま個々の引き方と, 赤玉 $6$ 個, 白玉 $4$ 個の並べ方について

【赤玉を引いたのが $i_1, i_2,\cdots,i_6$ 番目であるような引き方と, $10$ 個の玉を横一列に並べたときに赤玉の位置が左から $i_1, i_2,\cdots,i_6$ 番目であるような並べ方どうしを対応させる】

という対応を考えます. この対応によって例えば赤玉を引いたのが $1,3,4,5,7,8$ 番目であるような引き方

赤白赤赤赤白赤赤

と, 赤玉の位置が左から $1,3,4,5,7,8$ 番目であるような並べ方

赤白赤赤赤白赤赤白白

が互いに対応します. この対応によって取り出し方と並べ方が一対一に対応しますから, 引き方の総数と並べ方の総数が等しいことがわかります. 引き方の総数を $N$ とします. ここで引き方に関する事象 $X$ について, $X$ の要素数を $|X|$ と表すことにすると, 冒頭の注意から事象 $X$ の確率 $P(X)$ は

$$P(X) = \frac{|X|}{N}$$

となります. 事象 $X$ に対応する並べ方の総数もまた $|X|$ ですから, もとの欲しかった $P(X)$ の値というのは $X$ に対応した並べ方の総数を並べ方の総数 $N$ で割ることによって求まる, すなわち並べ方を全事象として対応する並べ方の確率を求めても良いということがわかります. ($\rm{1}$) はこれを用いて $A$ に対応する並べ方の総数 $|A|$ を並べ方の総数 $N$ で割ることによってもとの $P(A)$ を求めています.