二次関数などの最大最小を求める問題で端点を含まなく、頂点を含まない時などに最大、最小値が無しになるのは例えば区間が

Question

二次関数などの最大最小を求める問題で

端点を含まなく、頂点を含まない時などに

最大、最小値が無しになるのは

例えば区間が-1<x<5だったとして

最大値は、4.99999999...のように表すことができないから

で認識はあっていますか？

@KzmK · Accepted Answer

その認識で合っています。

たとえば y=x+2 という一次関数で、定義域が 1≤x<3でれあば、値域は 3≤y<5となりますが、最小値はy=3 (x=1のとき)、最大値はナシとなります。これは、「5に限りなく近いけど5より小さい数」というのは一つに決まらないからです。

たとえば4.99999...と9を100個並べても、9を101個並べれば、さらに5に近い数が作れますね。この「5より小さい範囲で5にさらに近づく」という作業は無限に実施可能で、いくら続けても終わりません。したがって、最大値を一つに決めることはできません。こういう事態になったときは、試験の答案では単に「最大値なし」と表現するわけですね。

少し余談かもしれませんが、「4.999...」と小数点以下9が「無限」に続く数というのは、「5よりほんのちょっとだけ小さい数」のように感じるかもしれません。しかし、実は、本当に9が無限に続くのであれば、数学的に厳密な議論をすると 4.999...=5 と、これは5そのものと等しくなってしまうのです（！）。興味があれば調べてみてください。