解決済み

数列{an}\{a_n\}について、

「数列{an+an+1}\{a_n+a_{n+1}\}がある実数α\alphaに収束するならば、数列{an}\{a_n\}α2\frac{\alpha}{2}に収束する」

は真ですか。

補足

考えていたら、an=(1)na_n=(-1)^nが反例として考えられると気づきました。

任意のnnについて、an>0a_n>0が成立するときではどうでしょうか。ご教示いただきたいです。

ベストアンサー

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an=sin2(nπ2)+1a_n=sin^2(\dfrac{nπ}{2})+1など、考えうる範囲ですぐに反例が出てくるので、証明するまでもなく成り立たないのではないかと思います。


なぜこの式が成り立つことを示したいのか教えていただければ、どのような条件なら成り立つのかを考えることもできると思いますが…

返信(2件)

もともと先生と、

「数列{anan+1}\{a_na_{n+1}\}がある実数α\alphaに収束し、かつan>0a_n>0ならば、数列{an}\{a_n\}α\sqrt{\alpha}に収束する」

は真であるかどうか話していて、(これは多分真だと思うんですが・・・ 真ですかね?)

そのついでに積でなく和ならばどうかということを思いつきました。

その積もan=(1)n+2a_n=(-1)^n+2とかにすれば反例になると思います。

振動するものを探せば、多少条件を変えても収束するとは言えないので、やはりそもそもの条件として、

ana_nが収束して、an+a(n+1){a_n+a_(n+1)}がαに収束するとき

みたいな条件は必要になってくる気がします。

質問者からのお礼コメント

質問者からのお礼コメント

返信にも詳しく答えていただいて、ありがとうございました!

助かりました!!

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