$f$ が $[0, 1]$ で積分可能で，$\displaystyle\int_{0}^{1}f(x)dx=\int_{0}^{1}xf(x)dx=1$ であるとする．このとき$$\int_{0}^{1}\{f(x)\}^2dx\ge 4$$

ありがとうざいます！Cauchy-Schwarzの不等式を用いた解答で，しかも美しい議論で，大変参考になりました．

実は，投稿から現在までの間に別の方法によって自分で解決していたので，お礼にそれを紹介いたします．

　函数$f(x)$は，区間$[0, 1]$で積分可能で，$$\int_0^1f(x)dx=\int_0^1xf(x)dx=1$$であるとする．これに対し，$g(x)=6x-2$，$f(x)=g(x)+h(x)$によって函数$g$と$h$を定める．このとき

$$\int_0^1g(x)=\int_0^1xg(x)dx=1$$

に注意すれば，

$$\int_0^1f(x)dx=\int_0^1g(x)dx+\int_0^1h(x)dx,$$

$$\int_0^1xf(x)dx=\int_0^1xg(x)dx+\int_0^1xh(x)dx$$

から，次を得る．

$$\int_0^1h(x)dx=\int_0^1xh(x)dx=0.$$

（次に続く．）

ゆえに

$$\int_0^1g(x)h(x)dx=6\int_0^1xh(x)dx-2\int_0^1h(x)dx=0$$

したがって，

$$\int_0^1\{f(x)\}^2dx = \int_0^1\{g(x)\}^2dx+2\int_0^1g(x)h(x)dx+\int_0^1\{h(x)\}^2dx$$

$$=\int_0^1\{g(x)\}^2dx+\int_0^1\{h(x)\}^2dx$$

$$\ge\int_0^1\{g(x)\}^2dx=4$$

すなわち$$\int_0^1\{f(x)\}^2dx\ge4.$$

なお，等式成立は区間$[0, 1]$において常に$h(x)=0$すなわち$f(x)=6x-2$のとき．