①拾い画なので何の本なのかは分かりませんが、写真のこの書き方は間違いですよね？そもそも∃N∈｛自然数全体の集合｝,∀n∈｛自然数全体の集合｝, n>Nという命題は常に偽ですよね？

記号で正しく書くなら

∃N∈｛自然数全体の集合｝,∀n∈ ｛自然数全体の集合｝ , n>N⇒P(n)

みたいに書けると思います。

②(おまけ)∀n∈Nのような書き方で「任意のNより大きい自然数について」と書く書き方があったら教えてください

急いでいます。回答お願いします。