①A⊂BとA⊆Bは同じ意味でどちらも ∀x∈A, x∈B という意味で、 A=Bになる場合も含むが、⊆の方は＝になる場合

Question

①A⊂BとA⊆Bは同じ意味でどちらも

　　　　　　　　∀x∈A, x∈B

という意味で、

A=Bになる場合も含むが、⊆の方は＝になる場合があることを明示的に表しているということで合っていますか？

②①を踏まえると、A⊊Bは

　　　　　(∀x∈A, x∈B)∧(¬(A=B))

という意味で、AはBに含まれるが、A＝Bになることはないということを明示的に表しているということですか？

そうであるならば、AがBに含まれ、A=Bになることもある場合に、A⊊Bと書くのは間違いということでしょうか？

@Cu0713 · Accepted Answer

それではなぜ役割が同じ記号があるのでしょうか。それは包含関係を表す記号の記法が面倒なことを引き起こしているのです。ちょっと長くなりますが簡単にまとめておきます。

包含関係を考えるとき，基本的に

1． $A$ は $B$ の部分集合である（ $A=B$ を許す）

2． $A$ は $B$ の真部分集合である（ $A = B$ は許さない）

の2つを考えます。

実はこれらの記法の流儀が2通りあるのです。

パターンa：1番を $\subset$ で表現し，2番を $\subsetneq$ で表現する（高校の教科書はこっちのはずです）

パターンb：1番を $\subseteq$ で表現し，2番を $\subset$ で表現する

よって，流儀によっては $\subseteq$ と $\subset$ は異なる意味を持つものとなります。

数学科で数学をした肌感として，パターンbを使っている様子を見たことはないです。しかし今後もしかすると $\subset$ の表記で $\subsetneq$ を意味していることがあり得るかもしれません。そのときはこの回答を思い出していただけると幸いです。