チルンハウス変換と$n$乗完成の違いを教えてください！

簡単な例で考えてみましょう...

$$ax^2+bx+c$$

という式があったとき、$p(x-q)^2+r$ の形にしたい!!というのが平方完成です。

具体的に計算をすると

$$a(x+\dfrac{b}{2a})^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$$

という式になります。

ここで2乗している部分に注目すると、 $y=x-\dfrac{b}{2a}$ と変数を置き換えればきれいな式になりそうだな...と考えるのがチルンハウス変換のイメージです。

具体的に計算すると

$$ay^2-\dfrac{b^2-4ac}{4a}$$

のようになり、少しだけ見やすい式になりました。

3,4次式の場合でも同様に $y=x-\dfrac{b}{3a}\ ,y=x-\dfrac{b}{4a}$ と変換して最高次の次の項（3次式なら2次の項）を消すことできます。

最終的な形はほぼ同じでも、チルンハウス変換のほうが計算が少し減りますね;;