• 解決済み

    @123456789

    2024/12/24 3:51

    2 回答

    定積分における置換積分法の証明について質問です。いずれか一方でも良いので回答お願いします。


    定理

    f: [a,b]→R, φ: [α,β]→[a,b]

    (i)f: 連続

    (ii)φ: C^1級の単調関数でφ(α)=a, φ(β)=bとする。


    このとき、∫[a,b]f(x)dx=∫[α,β]f(φ(t))φ'(t)dt



    証明

    F(x)をf(x)の原始関数とすると、

    d/dt(F(φ(t))=f(φ(t))φ'(t)より

    ∫[a,b]f(x)dx

    =F(b)-F(a)

    =F(φ(β))-F(φ(α))

    =∫[a,b]f(φ(t))φ'(t)dt

    証明終了


    質問

    ①さきの定理の証明において、φが単調でなければならない(以下の証明が成り立たなくなる)理由を教えてください。具体的に証明で単調であることを使っている箇所を教えていただければ嬉しいです。

    ②x=φ(t)と置く以上、任意のxに対して、x=φ(t)となるtが存在しなければない気がするのですが、φの値域は[a,b]よりも真に小さくても良いのでしょうか？


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    ベストアンサー

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    @ontama_udon

    2024/12/26 1:46

    ①

    単調である必要は特にないです。普通に正しい値が計算できます。なぜ単調とすることが多いのかというと、単調でない場合の置換積分は頭の中で想像するのが難しいというだけです。



    「単調でないφ\varphiにおいて、"置換積分の定理""置換積分の定理"が成り立つことの証明」


    少々抵抗があるかもしれませんが、φ\varphiが単調である場合の置換積分の定理が既知であるとします。


    φ(t):C1級の連続関数であり、φ(α)=a,φ(β)=b,φ(γ)=c\varphi (t):C^1級の連続関数であり、\varphi ( \alpha )=a, \varphi ( \beta )=b, \varphi ( \gamma )=c

    ただし、区間[α,γ]において単調増加(減少)、区間[γ,β]において単調減少(増加)ただし、区間[ \alpha , \gamma ]において単調増加(減少)、区間[ \gamma , \beta ]において単調減少(増加)


    (本来はもっとぐちゃぐちゃな関数でもいいですが、簡単のために山(谷)が一つだけのφ\varphiを考えます)


    ddtF(φ(t))=f(φ(t))φ′(t)\dfrac{d}{dt} F( \varphi (t))=f( \varphi (t)) \varphi '(t)

    ∫abf(x)dx\displaystyle \int _{a}^{b}f(x)dx

    =∫acf(x)dx+∫cbf(x)dx\displaystyle = \int _{a}^{c}f(x)dx+ \int _{c}^{b}f(x)dx

    =F(c)−F(a)+F(b)−F(c)= F(c)-F(a)+F(b)-F(c)

    =F(b)−F(a)= F(b)-F(a)

    =F(φ(β))−F(φ(α))=F( \varphi ( \beta ))-F( \varphi ( \alpha ))

    =∫αβf(φ(t))φ′(t)dt\displaystyle =\int_{ \alpha }^{ \beta }f( \varphi (t)) \varphi '(t)dt

    返信(1件)

    @ontama_udon

    2024/12/26 2:05

    ②

    C1級のφC^1級の\varphiであって、点φ(α)=a\varphi ( \alpha )=aと点φ(β)=b\varphi ( \beta )=bを通りながら、積分区間を網羅しないものを考えるのは難しい気がします。

    そのほかの回答（1件）

    @hogehoge

    2024/12/27 20:04

    (ii′\rm{ii'}) ϕ\phi は C1C^1 級で ϕ(α)=a\phi(\alpha)=a, ϕ(β)=b\phi(\beta)=b

    という仮定の下でその証明がそのまま通用します. ϕ\phi が単調である必要はありません. さらに命題を

    f:[a,b]→Rf:[a,b] \to \mathbb{R}, ϕ:[α,β]→[a,b]\phi:[\alpha,\beta] \to [a,b] , [c,d]⊂[a,b][c,d] \subset [a,b] とし

    (i\rm{i}) ff は連続

    (ii′′\rm{ii''}) ϕ\phi は C1C^1 級で ϕ(α)=c\phi(\alpha) = c, ϕ(β)=d\phi(\beta)=d

    ならば

    ∫cdf(x) dx=∫αβf(ϕ(t))ϕ′(t) dt\int^{d}_{c} f(x) \,dx = \int^{\beta}_{\alpha} f(\phi(t))\phi'(t) \,dt

    としても成り立ちます. 証明も同様です.


    仮定 (ii\rm{ii}) (または (ii′\rm{ii'})) の下で, ϕ\phi は連続で ϕ(α)=a\phi(\alpha)=a, ϕ(β)=b\phi(\beta)=b であることから, 中間値の定理により任意の x∈[a,b]x\in [a,b] に対して ϕ(t)=x\phi(t)=x となるような t∈[α,β]t\in [\alpha,\beta] が存在します. すなわち ϕ\phi は全射で, その値域 Imϕ\mathrm{Im}\phi は区間 [a,b][a,b] と一致します: Imϕ=[a,b]\mathrm{Im}\phi = [a,b].