定積分における置換積分法の証明について質問です。いずれか一方でも良いので回答お願いします。

定理

f: [a,b]→R, φ: [α,β]→[a,b]

(i)f: 連続

(ii)φ: C^1級の単調関数でφ(α)=a, φ(β)=bとする。

このとき、∫[a,b]f(x)dx=∫[α,β]f(φ(t))φ'(t)dt

証明

F(x)をf(x)の原始関数とすると、

d/dt(F(φ(t))=f(φ(t))φ'(t)より

∫[a,b]f(x)dx

=F(b)-F(a)

=F(φ(β))-F(φ(α))

=∫[a,b]f(φ(t))φ'(t)dt

証明終了

質問

①さきの定理の証明において、φが単調でなければならない(以下の証明が成り立たなくなる)理由を教えてください。具体的に証明で単調であることを使っている箇所を教えていただければ嬉しいです。

②x=φ(t)と置く以上、任意のxに対して、x=φ(t)となるtが存在しなければない気がするのですが、φの値域は[a,b]よりも真に小さくても良いのでしょうか？