解決済み

画像の微分方程式の問題の解き方がわかりません!


変数分離形だと友達は言っていましたがネットで調べてもわからなかったので教えて欲しいです。


4と5の両方です。過程も含めてお願いします!!

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友達がおっしゃるように、変数分離形の微分方程式ですね!


変数分離形の微分方程式は、解き方がパターン化されているので、暗記するイメージでとにかく問題をこなすのが個人的にはおすすめです!


(4)

dydx=y2+y\dfrac{dy}{dx} = y^2 + y

両辺を y2+yy^2 + y で割りましょう。ただし、y0,1y \neq 0, -1 です。


1y2+ydydx=11y(y+1)dydx=1(1y1y+1)dy=dx \begin{aligned}\dfrac{1}{y^2 + y} \dfrac{dy}{dx} &= 1 \\\dfrac{1}{y(y + 1)} \dfrac{dy}{dx} &= 1 \\(\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{y+1}) dy &= dx \\\end{aligned}


両辺を積分します。(不定積分)


(1y1y+1)dy=dxlogylogy+1=x+Clogyy+1=x+Cyy+1=ex+Cyy+1=Aex \begin{aligned}\int (\dfrac{1}{y} - \dfrac{1}{y+1}) dy &= \int dx \\\log |y| - \log |y + 1| &= x + C \\\log |\dfrac{y}{y+1}| &= x + C \\|\dfrac{y}{y+1}| &= e^{x + C} \\\dfrac{y}{y+1} &= A e^x \\\end{aligned}


最後のところで A=±eCA = \pm e^C としてます。この辺も大胆にやっちゃってOKです。


yy+1=Aex    y=Aex1Aex\begin{aligned}\dfrac{y}{y+1} &= A e^x \\\iff y &= \dfrac{A e^x}{1 - A e^x}\end{aligned}


また、y=0,1y = 0, -1 も解です。

y=0y = 0A=0A = 0 にまとめられます。


(答)y=Aex1Aex,y=1y = \dfrac{A e^x}{1 - A e^x}, \quad y = -1


(5)

両辺を x(1+y2)x(1 + y^2) で割ればOKです!

2yy2+1dy=1xdx\int \dfrac{2y}{y^2 + 1} dy = - \int \dfrac{1}{x} dx

となります。(4)と同様に計算します。後は答えだけ書いておきますね。


(答)y2=Ax1y^2 = \dfrac{A}{x} - 1

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