保存力云々のところで気になったのですが、

大体の証明を試みますね(厳密にやりたいなら、rotを計算してゼロベクトルになることを示せば良いようです)。曲線に沿っての微小の移動量$ds$を動径方向の移動量$dr_r$と角度方向の移動量$dr_θ$に分解して計算すると、

$∫f(r)r•ds=∫f(r)r•(dr_r+dr_θ)=∫f(r)r•dr_r$ です($r•dr_θ=0$を使いました)。

つまり、原点からの距離$r$に関する1次元の積分に帰着することができます。1次元の積分が経路によらないことは明らかなので、元の積分も経路に依らず定まります。特に、始点と終点からの原点からの距離が同じであれば積分は0になります。