• 解決済み

    @pepepccc

    2024/2/26 13:05

    1 回答

    保存力云々のところで気になったのですが、

    r1→r2(r1=r2)\boldsymbol{r}_1\to\boldsymbol{r}_2 (r_1 = r_2)への任意の経路CCに対して、∫Cf(r)r⋅ds=0\int_{C} f(r) \boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{s} = 0 は成り立ちますか？また成り立つのであれば証明がいただきたいです。よろしくお願いします。



    補足

    より一般に、

    r1→r2\boldsymbol{r_1}\to\boldsymbol{r_2}(r1=r2r_1=r_2とは限らない)への任意の経路CCに対して

    ∫Cf(r)r⋅ds=∫r1r2f(r)rdr\int_{C}f(r)\boldsymbol{r}\cdot d\boldsymbol{s}=\int_{r_1}^{r_2}f(r)rdr

    は成り立ちますか？


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    @London

    2024/2/28 14:26

    大体の証明を試みますね(厳密にやりたいなら、rotを計算してゼロベクトルになることを示せば良いようです)。曲線に沿っての微小の移動量dsdsを動径方向の移動量drrdr_rと角度方向の移動量drθdr_θに分解して計算すると、

    ∫f(r)r•ds=∫f(r)r•(drr+drθ)=∫f(r)r•drr∫f(r)r•ds=∫f(r)r•(dr_r+dr_θ)=∫f(r)r•dr_r です(r•drθ=0r•dr_θ=0を使いました)。

    つまり、原点からの距離rrに関する1次元の積分に帰着することができます。1次元の積分が経路によらないことは明らかなので、元の積分も経路に依らず定まります。特に、始点と終点からの原点からの距離が同じであれば積分は0になります。



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