エネルギー保存の式は運動方程式から導出できるという話を聞いたのですが，具体的にどうやるんでしょうか？

運動方程式の両辺で，速度ベクトルと内積をとって，それを時間で積分すると導出することができます。

ちなみにですが，運動量保存の法則も運動方程式から導出できます。