【解答・解説】早稲田理工物理2025 第3問 -熱力学-

以下の問題文および図は，2025年度早稲田大学基幹・創造・先進理工学部入試問題物理第3問から引用しています(一部見やすさ等のためライターが修正・変更した部分があります)。

状態変化ごとの各物理量の変化を丁寧に追うことが求められる問題です。

(1)

気体 $\text{G}_\text{A}, \text{G}_\text{B}$ のモル数をそれぞれ　$n_A, n_B$ とします。各気体について状態方程式 (ボイル・シャルルの法則と状態方程式) より

$$\begin{cases} A : P V = n_A R T \tag{1}\\ B : 4P V = n_B R 2T \end{cases}$$

辺々割って

$$\dfrac{n_B}{n_A} = 2 \quad \therefore n_B = 2 n_A$$

したがって，気体 $\text{G}_\text{B}$ のモル数は気体 $\text{G}_\text{A}$ の2倍となります。

(2)

気体 $\text{G}_\text{A}, \text{G}_\text{B}$ はいずれも 単原子分子の理想気体なので，その内部エネルギーは公式 (気体の内部エネルギーの意味と公式，求め方) により求めることができます。各気体の内部エネルギーをそれぞれ $U_A, U_B$ とすると

$$U_A = \dfrac{3}{2} n_A R T, \, U_B = \dfrac{3}{2} n_B R 2T = 4 \times \dfrac{3}{2} n_A R T = 4 U_A$$

したがって，$U_B$ は $U_A$ の4倍となります。

(3)

上図のように，弁 1 を開いてから十分時間が経過した後の混合気体の 圧力・温度をそれぞれ $P_1, T_1$ とおきます。混合気体の体積は $2V$，総モル数は $n_A + n_B = 3 n_A$ となります。 この状態変化は断熱変化 (気体の状態変化とモル比熱（断熱変化，等温変化，定圧変化など）) であり，さらに混合気体がした総仕事量も $0$ であるので，熱力学第一保存則 (熱力学第一法則｜仕事と内部エネルギーの関係) より，この状態変化において混合気体の総内部エネルギーの変化 $\Delta U$ は $0$ であることがわかります。すなわち

$$\begin{aligned} \Delta U &= \dfrac{3}{2} 3 n_A R T_1 - U_A - U_B \\ &= \dfrac{3}{2} 3 n_A R T_1 - 5 U_A \\ &= \dfrac{3}{2} 3 n_A R T_1 - \dfrac{3}{2} 5 n_A R T = 0 \end{aligned}$$

したがって

$$T_1 = \dfrac{5}{3} T$$

であることがわかります。

(4)

混合気体に対する状態方程式より

$$P_1 2V = 3 n_A R \dfrac{5}{3} T$$

$$\therefore 2 P_1 V = 5 n_A R T$$

(1) 式を用いて辺々割ると

$$\dfrac{2 P_1}{P} = 5 T \quad \therefore P_1 = \dfrac{5}{2} P$$

となります。

(5)

上図のように，弁 2 を開いてから十分時間が経過した後の混合気体の圧力・温度をそれぞれ $P_2, T_2$ とおきます。

(3) と同様の議論により，この状態変化においても内部エネルギーの変化は 0 となります。したがって

$$\Delta U = \dfrac{3}{2} 3 n_A R T_2 - \dfrac{3}{2} 3 n_A R T_1 = 0$$

$$\therefore T_2 = T_1 = \dfrac{5}{3} T$$

となります。

この結果より，この状態変化は等温変化となることがわかります。

(6)

(5) の結果より，この状態変化は等温変化となることがわかります。 したがって，ボイルの法則 (ボイル・シャルルの法則と状態方程式) $PV = \text{一定}$ より

$$P_2 3 V = P_1 2V = \dfrac{5}{2} P 2V = 5 PV$$

$$\therefore P_2 = \dfrac{5}{3} P$$

と求められます。

(7)

液体の密度を $\rho$ とおきます。液体とピストンの系に対して 力のつりあいより

$$P_S + \rho 2V g = P_2 S = \dfrac{5}{3} P S$$

$$\therefore \rho = \dfrac{1}{3} \dfrac{PS}{V g}$$

となります。

(8)

シリンダーに残っている液体の体積が $V$ となったときの 混合気体の圧力と温度をそれぞれ $P_3, T_3$ とおきます。 このとき気体の総体積は $4V$ となっていることに注意します。

まず，圧力 $P_3$ について，液体とピストンの系に対する力のつりあいより

$$P S + \rho VS g = P_3 S$$

$$\therefore P_3 = P + \rho V g = \dfrac{4}{3} P$$

また，この気体の状態変化はボイル・シャルルの法則にしたがうので

$$\dfrac{P_3 4V}{T_3} = \dfrac{P_2 3V}{T_2}$$

$$\therefore \dfrac{16}{3} \dfrac{P V}{T_3} = 3 \dfrac{PV}{T}$$

$$\therefore \dfrac{T_3}{T} = \dfrac{16}{9}$$

と求めることができます。

(9)

上図のように，シリンダーの最上部の気体の体積が $(1 + a) V$ となっているときを考えます。液体の残り体積が $V$ となるまでの状態変化を考えたいので，$0 \leq a \leq 1$ として考えます。

このときの気体の圧力・体積・温度をそれぞれ $P_a, V_{a}, T_{a}$ とおきます。まず，$V_a$ については

$$V_a = (3 + a) V$$

となります。次に，$P_a$ について，液体とピストンの系に関する力のつりあいより

$$P S + \rho (2 - a) VS g = P_a S$$

$$\therefore P_a = \dfrac{5-a}{3} P$$

これらより $a$ を消去して，$P_a$ と $V_a$ の関係式を求めると

$$3V P_a + P V_a = 8 PV$$

$0 \leq a \leq 1$ では $3V \leq V_a \leq 4V$ となるので， この状態変化で気体が外部にした仕事 $W_{out}$ は，下図の $PV$ 平面の斜線部の面積と等しくなります。

したがって，$W_{out}$ は

$$\begin{aligned} W_{out} &= \dfrac{4}{3} PV + \dfrac{1}{2} \dfrac{1}{3} P V \\ &= \dfrac{3}{2} n_A R T = U_A \end{aligned}$$

のように $U_A$ を用いて表すことができるので

$$\dfrac{W_{out}}{U_A} = 1$$

となります。

(10)

熱力学第一法則より，この状態変化の過程で気体が外部にした仕事を $W_{out}$，気体が吸収した仕事を $Q$ とすると

$$Q = \Delta U + W_{out}$$

$W_{out}$ は前問で求めた通りなので，$\Delta U$ を求めます。

$$\begin{aligned} \Delta U &= \dfrac{3}{2} 3 n_A R (T_3 - T_2) \\ &= \dfrac{3}{2} 3 n_A R \left( \dfrac{16}{9} T - \dfrac{5}{3} T \right) \\ &= \dfrac{1}{3} \dfrac{3}{2} n_A R T = \dfrac{1}{3} U_A \end{aligned}$$

したがって，$Q$ は

$$Q = \dfrac{1}{3} U_A + U_A = \dfrac{4}{3} U_A$$

と求められます。