【解答・解説】東大物理2025 第3問 -熱力学-

I

「台車と床との摩擦~は無視できる」ことと「なめらかに動くピストンつきの断熱容器」を用いていることから，系全体でエネルギー保存則が成り立つことと，断熱容器内の気体は断熱変化に従うことに注意します。

(1)

時刻 $t_0$ では台車の速度は $v_0$ であることから

$$K_0 = \dfrac{1}{2} m v_0^2$$

また，単原子分子理想気体の内部エネルギーの公式より

$$U_0 = \dfrac{3}{2} R T_0$$

(2)

時刻 $t = t_0$ と $t = t_1$ との間でエネルギー保存則が成り立つことより

$$\dfrac{3}{2} RT_1 = K_0 + U_0$$

両辺を $U_0 = \dfrac{3}{2} R T_0$ で割ることで

$$\dfrac{T_1}{T_0} = \dfrac{K_0}{U_0} + 1$$

と表される。

(3)

断熱変化においては，一般に，ポアソンの法則 $p V^{5/3} = \text{一定}$ および理想気体の状態方程式 $p V = n R T$ により，$T V^{2/3} = \text{一定}$ が成り立つことを用います。

時刻 $t = t_0$ と $t = t_1$ との間で気体が断熱変化を起こすことにより

$$T_0 V_0^{\dfrac{2}{3}} = T_1 V_1^{\dfrac{2}{3}}$$

$$\therefore \left( \dfrac{V_1}{V_0} \right)^{\dfrac{2}{3}} = \dfrac{T_0}{T_1} = \left( \dfrac{K_0}{U_0} + 1 \right)^{-1}$$

$$\therefore \dfrac{V_1}{V_0} = \left( \dfrac{K_0}{U_0} + 1 \right)^{-\dfrac{3}{2}} (< 1)$$

(4)まず，時刻 $t = t_0$ から $t = t_2$ まででエネルギー保存則が成り立っていることより，$t = t_2$ での台車の速度は，運動の向きを考慮して，$v = - v_0$ と求められます。よって，答えのグラフは①，②，③のいずれかに決まります。

速度がどのように変化するかを考えましょう。時刻 $t = t_0$ から $t = t_1$ までは，時間変化に伴い，気体の体積 $V$ は減少していきます。気体は断熱変化に従うので，ポアソンの法則 $p V^{5/3} = \text{一定}$ により，気体の圧力 $p$，すなわち台車に加わる力は大きくなっていきます。また，時刻 $t = t_1$ では気体の体積は最小となり，気体の圧力 $p$ は最大となります。台車の運動方程式を考えると，このときに台車の加速度の絶対値が最も大きくなることになります。

そこで，グラフに着目すると，$t_0 \leq t \leq t_1$ において時刻 $t = t_1$ で台車の速度の変化率が最も大きくなるグラフは③のみです。したがって，最も適切なグラフは③であるとわかります。

II

(1)「$R, T_3, T_4$ のうち必要なものを用いて表せ」と記載があることに注意してください。指定された以外の文字は解答に含まれてはいけません。

時刻 $t = t_3$ から $t = t_4$ では固定壁を通じた気体間の熱の移動は無視できるため，台車と左側の気体の系でエネルギー保存則を考えることができます。したがって

$$K_4 + \dfrac{3}{2} R T_4 = 0 + \dfrac{3}{2} R T_3$$

$$\therefore K_4 = \dfrac{3}{2} R (T_3 - T_4)$$

と求められます。

(2)エネルギー保存則およびポアソンの法則を用いながら，各温度間の関係を比べてみましょう。

まず $T_0$ と $T_1$ との関係について調べます。

時刻 $t = t_0$ と $t = t_1$ で気体が断熱変化することにより

$$T_1 V_1^{2/3} = T_0 V_0^{2/3}$$

$$\therefore T_1 = \left( \dfrac{V_0}{V_1} \right)^{\frac{2}{3}} T_0 \tag{2-1}$$

台車の運動の方向より，$\dfrac{V_0}{V_1} > 1$ なので，$\left( \dfrac{V_0}{V_1} \right)^{\frac{2}{3}} >1$ であり，

$$T_0 < T_1$$

であることがわかります。

次に $T_3$ について考えます。$t_1 \leq t \leq t_3$ では固定壁を通じて気体間で熱の移動があるため，断熱変化の公式を用いることはできません。

時刻 $t = t_1$ と $t = t_3$ で，全系でエネルギー保存則を考えて

$$0 + \dfrac{3}{2} R T_3 + \dfrac{3}{2} R T_3 = 0 + \dfrac{3}{2} R T_1 + \dfrac{3}{2} R T_0$$

$$\therefore T_3 = \dfrac{T_0 + T_1}{2} \tag{2-2}$$

いま $T_0 < T_1$ であることがわかっていたので

$$T_0 < T_3 < T_1$$

だとわかります。

最後に $T_4$ について考えます。$t_3 \leq t \leq t_4$ では固定壁を通じた熱の移動がないため，気体は断熱変化をしたと考えることができます。したがって，左側の気体についてポアソンの公式より

$$T_4 V_0^{2/3} = T_3 V_1^{2/3}$$

$$\therefore T_4 = \left( \dfrac{V_1}{V_0} \right)^{\frac{2}{3}} T_3$$

ここで，(2-1)式より

$$\left( \dfrac{V_1}{V_0} \right)^{\frac{2}{3}} = \dfrac{T_0}{T_1}$$

したがって

$$T_4 = \dfrac{T_3}{T_1} T_0 < T_0 \, (\because T_3 < T_1) \tag{2-3}$$

全てまとめて

$$T_4 < T_0 < T_3 < T_1$$

のようになります。$>$ は解答に使うことができないので注意してください。

(3)

$$K_0 = \dfrac{1}{2} m v_0^2, U_0 = \dfrac{3}{2} R T_0, K_4 = \dfrac{1}{2} m v_4^2$$

と表されます。したがって

$$e^2 = \left| \dfrac{v_4}{v_0} \right|^2 = \dfrac{K_4}{K_0}$$

と表されることに注意します。

II(1)の解答より

$$K_4 = \dfrac{3}{2} R (T_3 - T_4)$$

両辺を $K_0 = \dfrac{1}{2} m v_0^2$ で割って

$$\dfrac{K_4}{K_0} = e^2 = \dfrac{\dfrac{3}{2} R (T_4 - T_3)}{K_0}$$

右辺について，分子・分母それぞれを $U_0 = \dfrac{3}{2} R T_0$ で割ることにすると

$$e^2 = \dfrac{\dfrac{T_3}{T_0} - \dfrac{T_4}{T_0}}{\dfrac{K_0}{U_0}} = \dfrac{U_0}{K_0} \left( \dfrac{T_3}{T_0} - \dfrac{T_4}{T_0} \right)$$

(2-1)式から(2-3)式の結果を使って，温度の比は $V_0/V_1$ を用いて表すことができます。簡単のため

$$\left( \dfrac{V_0}{V_1} \right)^{\frac{2}{3}} = \alpha > 1$$

とおきます。

まず(2-1)式より

$$T_1 = \alpha T_0$$

次に(2-2)式より

$$\therefore T_3 = \dfrac{T_0 + T_1}{2} = \dfrac{1 + \alpha}{2} T_0$$

最後に(2-3)式より

$$T_4 = \dfrac{T_3}{T_1} T_0 = \dfrac{1}{\alpha} \dfrac{1 + \alpha}{2} T_0 = \dfrac{1}{2} \left( 1 + \dfrac{1}{\alpha} \right) T_0$$

これらより

$$e^2 = \dfrac{U_0}{K_0} \left( \dfrac{T_3}{T_0} - \dfrac{T_4}{T_0} \right) = \dfrac{U_0}{2 K_0} \left( \alpha - \dfrac{1}{\alpha} \right)$$

$\alpha$ を $K_0$ と $U_0$ を用いて表すことはできるでしょうか？ここで，まだ使っていない条件として，時刻 $t = T_0$ と $t = t_1$ でエネルギー保存則が成り立つことを使います。

$$K_0 + U_0 = 0 + \dfrac{3}{2} R T_1$$

辺々 $U_0 = \dfrac{3}{2} R T_0$ で割って

$$\dfrac{K_0}{U_0} + 1 = \dfrac{T_1}{T_0} = \alpha$$

これより

$$\begin{aligned} \alpha - \dfrac{1}{\alpha} &= \dfrac{\alpha^2 - 1}{\alpha} \\ &= \dfrac{(\dfrac{K_0}{U_0})^2 + 2 \dfrac{K_0}{U_0}}{\dfrac{K_0}{U_0} + 1} \end{aligned}$$

これより

$$\begin{aligned} e^2 &= \dfrac{U_0}{2 K_0} \dfrac{(\dfrac{K_0}{U_0})^2 + 2 \dfrac{K_0}{U_0}}{\dfrac{K_0}{U_0} + 1} \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{\dfrac{K_0}{U_0} + 2}{\dfrac{K_0}{U_0} + 1} \\ &= \dfrac{1}{2} \dfrac{K_0 + 2 U_0}{K_0 + U_0} \end{aligned}$$

$e$ は正なので

$$e = \sqrt{\dfrac{1}{2} \dfrac{K_0 + 2 U_0}{K_0 + U_0}}$$

となります。