極限値 $$\lim_{n \to \infty} \dfrac{1}{n(1-e^{-\frac{1}{n}})}$$ を求めよ.

$$\dfrac{1}{n(1-e^{-\frac{1}{n}})}=\dfrac{1}{\Bigg(\dfrac{(1-e^{-\frac{1}{n}})}{\frac{1}{n}}\Bigg)}$$

です。これを$f(n)$とします。ここで、

$t=-\dfrac{1}{n}$という置換を考えると、

$$f(n)=\bigg( \frac{(1-e^{-\frac{1}{n}})}{\frac{1}{n}}\bigg)^{-1}\\=\bigg( \frac{(1-e^{t})}{-t}\bigg)^{-1}\\=\bigg( \frac{(e^{t}-1)}{t}\bigg)^{-1}$$

です。$g(t):=\dfrac{(e^{t}-1)}{t}$とすると、

$$f(n)=\dfrac{1}{g(t)}$$

となります。$n\to \infty$で$t\to -0$なので、結局求めるべき極限は

$$\lim_{t \to -0} \dfrac{1}{g(t)}$$

ということになります。

$$\lim_{t \to -0} g(t)=\lim_{t \to -0} \dfrac{(e^{t}-1)}{t}=1$$

は有名な極限(微分係数の定義とか使えばいい)なので、求める値$I$は、

$$I=\frac{1}{1}=1$$