画像の問題について、多くの解説サイトでは背理法で示していましたが、対偶をとって示しているサイトは全く見当たりませんでした。

すなわち、この問題を「$a, b, c$の最大公約数が1ならば、$a+b+c, ab+bc+ca, abc$の最大公約数が1である」とみなし、「$a+b+c, ab+bc+ca, abc$の最大公約数が2以上ならば、$a, b, c$の最大公約数が2以上である」として証明を進めているような解説は見当たりませんでした。

もしかしたらそのように処理してはいけない理由がどこかにあるのだと考えましたが、そのような理由はわかりませんでした。

質問としては

・上記のように、命題をおいて対偶をとって進めてはいけないのか

・いけないのであれば理由はなぜか

といったところです。ご回答よろしくお願いします。

※画像は2022年東京工業大学の2番の問題です