解決済み
画像の問題について、多くの解説サイトでは背理法で示していましたが、対偶をとって示しているサイトは全く見当たりませんでした。
すなわち、この問題を「の最大公約数が1ならば、の最大公約数が1である」とみなし、「の最大公約数が2以上ならば、の最大公約数が2以上である」として証明を進めているような解説は見当たりませんでした。
もしかしたらそのように処理してはいけない理由がどこかにあるのだと考えましたが、そのような理由はわかりませんでした。
質問としては
・上記のように、命題をおいて対偶をとって進めてはいけないのか
・いけないのであれば理由はなぜか
といったところです。ご回答よろしくお願いします。
※画像は2022年東京工業大学の2番の問題です
ベストアンサー
どっちが早いかですよね。この問題の場合やることは同じですが、背理法の方が1,2行書くことが少ないと思います。
対偶を使うなら、まず示すべき命題は、...と書かないといけないので、特に解答を何度も書き直せる解答速報や色々なサイトの解法ではより綺麗な答案を見せたいので背理法としているということでしょうね。
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そのほかの回答（1件）
対偶をとっても問題なく正しい証明が得られます。
多くの解答で背理法を採用しているのは、問題が「～ならば～である」のような命題の形になっていないので、解答にわざわざ命題を設定して対偶をとると書くのが面倒なだけだと思います。
質問者からのお礼コメント
ご回答ありがとうございます。
単純に面倒だからであって、別にやってはいけないわけではないのですね。