四面体の重心に関する写真の問題の方針を教えていただきたいです。

$P,Q,R,G$ が共面（同一平面上にある）という条件のもとで $V/V_0 = pqr$ の値域を求めます。$P,Q,R,G$ が共面という条件は $1/p + 1/q + 1/r = 4$ に同値なので，この条件のもとで $pqr$ の値域を求めると言っても同じです。

$x = 1/p, y = 1/q, z = 1/r$ とおきます。

$pqr = 1/xyz$ を最小・最大化する $x,y,z$ は $f(x,y,z) = \log x + \log y + \log z$ を最大・最小化するので，$f$ の値域を調べればよいです。

$\log x$ のグラフは上に凸なので，$\log x \leqq (接線上の点の\ y\ 成分)$ から，

$$\log x \leqq \log \frac{4}{3} + \frac{3}{4}\left(x - \frac{4}{3}\right)。$$

$y,z$ に関しても同様の不等式をみちびき，辺々足し合わせて，

$$\begin{aligned} \log x + \log y + \log z&\leqq 3 \log \frac{4}{3} + \frac{3}{4}\left(x + y + z - 3 \cdot \frac{4}{3}\right) \\&= 3 \log \frac{4}{3}。\end{aligned}$$

$x = y = z = 4/3$ のとき等号が成り立つので，これが最大値です。

$x + y + z = 4$ かつ $x,y,z \geqq 1$ から $x,y,z \in [1,2]$ であるのに注意します。

$x \in [1,2]$ 上では $\log x \geqq ((1,\log 1),(2,\log 2)\ を結ぶ直線上の点の\ y\ 成分)$ なので，

$$\log x \geqq \log 2 (x - 1)。$$

$y,z$ に関しても同様の不等式をみちびき，辺々足し合わせて，

$$\begin{aligned} \log x + \log y + \log z&\geqq \log 2 (x + y + z - 3 \cdot 1) \\&= \log 2。\end{aligned}$$

$x = 2, y = z = 1$ のとき等号が成り立つので，これが最小値です。