最小値はなんですか？「九章算術」では、四つの面が直角三角形の四面体をネズミの巣と呼びます。図示ように、四面体A-BCD

Question

最小値はなんですか？

「九章算術」では、四つの面が直角三角形の四面体をネズミの巣と呼びます。図示ように、四面体A-BCDは、ネズミ捕り、AB⊥平面BCD、BC⊥CD、

AB = BC = CD = 2, E,F

それぞれプリズムACとBD上の可動点で、AE = BFでEFの長さは最小____となります。

@DoubleExpYui · Accepted Answer

$\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=x$ とおく。 $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{BE}}&=\dfrac{(2\sqrt2-x)\,\overrightarrow{\mathrm{BA}}+x\,\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{2}\ \end{align*}$$ より $$\begin{align*} \overrightarrow{\mathrm{EF}}&=\overrightarrow{\mathrm{BF}}-\overrightarrow{\mathrm{BE}} &=\dfrac{x}{2}\,\overrightarrow{\mathrm{BD}}-\dfrac{(2\sqrt2-x)\,\overrightarrow{\mathrm{BA}}+x\,\overrightarrow{\mathrm{BC}}}{2}\ \end{align*}$$ である。 $\mathrm{BA}\perp\mathrm{BC}\perp\mathrm{BD}$より $$\begin{align*} |\overrightarrow{\mathrm{EF}}|^2&=\left(\dfrac{x}{2}ight)^2\,|\overrightarrow{\mathrm{BD}}|^2+\left(\dfrac{2\sqrt2-x}{2}ight)^2\,|\overrightarrow{\mathrm{BA}}|^2+\left(\dfrac{x}{2}ight)^2\,|\overrightarrow{\mathrm{BC}}|^2\ &=x^2+(2\sqrt2-x)^2+x^2\ &=3x^2-4\sqrt2x+8\ &=3\left(x-\dfrac{2\sqrt2}{3}ight)^2+\dfrac{16}{3} \end{align*}$$ より $\mathrm{AE}=\mathrm{BF}=\dfrac{2\sqrt2}{3}$ のとき $\mathrm{EF}$ の最小値は $\dfrac{16}{3}$ である。