• 解決済み

    @repunit

    2024/1/13 14:59

    1 回答

    下に凸な狭義単調増加関数は必ず発散すると言えますか？高校の範囲で出来る証明があればその証明も書いて頂きたいです。

    1. 高校生
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    @London

    2024/1/13 17:44

    必ず発散すると言えます。証明には、関数が下に凸ならば二階導関数の値が正(負でない)である事と、平均値の定理を用います。


    nnが自然数のとき、平均値の定理よりf(n+1)−f(n)=f’(xn)f(n+1)-f(n)=f’(x_n) となるxnx_nがnnとn+1n+1との中間に存在します。従って、

    f(n)−f(1)=∑k=1n−1f(k+1)−f(k)f(n)-f(1)= \sum_{k=1}^{n-1} f (k+1)-f(k)

    =∑k=1n−1f’(xk)=\sum_{k=1}^{n-1}f’(x_k)

    ≥∑k=1n−1f’(x1)≥\sum_{k=1}^{n-1}f’(x_1)

    =(n−1)f’(x1)=(n-1)f’(x_1)

    です。(不等号は二階導関数が正である事からf’(x)f’(x)が単調増加なので成り立ちます。)

    f(x)f(x)が狭義単調増加であることからf’(x1)>0f’(x_1)>0なので、n→∞のときf(n)→∞となります。(証明終)


    証明の肝は平均値の定理です(たぶん)。

    平均値の定理によって、f’(x)f’(x)、つまり瞬間の速度が、常に増大する、と言う局所的性質と、f(n+1)-f(n)、つまり平均の速度が増大していく、と言う大域的性質が結び付けられています！



    質問者からのお礼コメント

    質問者からのお礼コメント

    元の関数を平均値の定理を使って微分係数で評価するってことですか。定量的で分かりやすかったです。ありがとうございます！

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