下に凸な狭義単調増加関数は必ず発散すると言えますか？高校の範囲で出来る証明があればその証明も書いて頂きたいです。

必ず発散すると言えます。証明には、関数が下に凸ならば二階導関数の値が正(負でない)である事と、平均値の定理を用います。

$n$が自然数のとき、平均値の定理より$f(n+1)-f(n)=f’(x_n)$ となる$x_n$が$n$と$n+1$との中間に存在します。従って、

$$f(n)-f(1)= \sum_{k=1}^{n-1} f (k+1)-f(k)$$

$$=\sum_{k=1}^{n-1}f’(x_k)$$

$$≥\sum_{k=1}^{n-1}f’(x_1)$$

$$=(n-1)f’(x_1)$$

です。(不等号は二階導関数が正である事から$f’(x)$が単調増加なので成り立ちます。)

$f(x)$が狭義単調増加であることから$f’(x_1)>0$なので、n→∞のときf(n)→∞となります。(証明終)

証明の肝は平均値の定理です(たぶん)。

平均値の定理によって、$f’(x)$、つまり瞬間の速度が、常に増大する、と言う局所的性質と、f(n+1)-f(n)、つまり平均の速度が増大していく、と言う大域的性質が結び付けられています！