複素数α、βに対して

複素数$a,b(\neq 0)$に対して、

$|ab|=|a||b|$より、

$\frac{|ab|}{|b|}=|a|$

$\frac{|ab|}{|b|}=|\frac{ab}{b}|$

ここで、$α=ab,β=b(\neq 0)$とすると、

$\frac{|α|}{|β|}=|\frac{α}{β}|$が成り立ちます。

ちなみに、$|ab|=|a||b|$は以下の通りに成り立ちます。

$|ab|^2=ab \overline{ab}=a\overline{a}b\overline{b}=|a|^2|b|^2$

$|ab|,|a|,|b|$はすべて$0$以上の実数であるから、

$|ab|=|a||b|$