画像の問題についての質問です。 (＊)⇒c3を示すにあたって、すべてのnについてではなくn=1のとき(解説ではn=1,

Question

画像の問題についての質問です。 (＊)⇒c>3を示すにあたって、すべてのnについてではなくn=1のとき(解説ではn=1,2,3,4)についてのみc>3を示すだけでいい理由は何ですか。

@sHlcNRe46 · Accepted Answer

$c>3$ が(*)の必要条件であることを示すからです。

任意の自然数 $n$ に対して(*)が成り立つためには、 $n=1$ で(*)が成り立つ必要があります。

つまり、 $c>3$ は、 $n=1$ の場合に(*)が成り立つ必要がある、ということです。したがって、必要条件については $n=1$ を考えるだけで完了です。

解説にもあるとおり、必要十分条件であることを示す場合は、必要条件と十分条件に分けて考える場合が多いですが(同値変形のみで考えられる場合は簡単になることが多く、問題として出題されない)、そのどちらかは簡単になることが多いですね。

今回に限らず、 $n=1,2,3,\cdots$ と考えていくことが解決の糸口になることは多々あります。

特に京大では、このような一般的な事象について、具体的に実験して法則性を掴むのが重要な問題もかなり多く出題されていますね。

@Rarara · Answer

この書き方は確かに少し勘違いを生むかもしれません(文章は全く正しいです)

この文の3を1/4にしようが1にしようが17/16にしようが全て正しいです。

語尾が必要条件だからです。より大きな範囲です。

今回の問題はc>3が必要十分条件と与えられていますが、実際本試で与えられない場合もあると思います。その場合、明らかにnが増加すると必要なcの範囲が限られていくことから、c>3が必要十分条件であると予想していくことになります。

(人違いかもしれませんが昨日夜ぐらいにTwitterでも質問してました？)